Tłumienie w ruchu harmonicznym

[Klawy123]

Przyczepiona do sprężyny o współczynniku sprężystości \(\displaystyle{ 250 N/m}\) masa \(\displaystyle{ 2,2 kg}\) wykonuje ruchy oscylacyjne o okresie \(\displaystyle{ 0.615 s}\). Czy w układzie tym występuje tłumienie? Jeżeli w
układzie tym występuje tłumienie znajdź stałą tłumienia b.

[Janusz Tracz]

Gdyby w układnie nie było tłumienia to zachodziło by \(\displaystyle{ T=2\pi \sqrt{ \frac{m}{k} }}\) a jak łatwo sprawdzić nie jest to spełnione zatem w układnie jest tłumienie i zachodzi wzór ogólniejszy:

\(\displaystyle{ \omega= \sqrt{\omega_0^2- \beta ^2}}\)

z poprawką na niezerowe tłumienie \(\displaystyle{ \beta}\), przy czym \(\displaystyle{ \omega_0}\) jest częstością drgań nietłumionych czyli \(\displaystyle{ \omega_0= \sqrt{ \frac{k}{m} }}\) a \(\displaystyle{ \omega}\) jest rzeczywistą częstotliwością drgań czyli \(\displaystyle{ \omega= \frac{2 \pi }{T}}\) (tu \(\displaystyle{ T}\) jest już z treści zadania bo to jest \(\displaystyle{ T}\) rzeczywiste czyli takie które uwzględnia tłumieni). Czyli masz wyliczyć \(\displaystyle{ \beta}\) z równania i podstawić dane:

\(\displaystyle{ \frac{2 \pi }{T}= \sqrt{ \frac{k}{m}- \beta ^2 }}\)

[janusz47]

\(\displaystyle{ \frac{k}{m} =\omega_{0}^2}\)

\(\displaystyle{ \frac{k}{m} = \frac{250}{2,2}\frac{1}{s^2} =113,640 \frac{1}{s^2}}\)

\(\displaystyle{ \omega_{0} = \sqrt{113,64}\frac{1}{s} \approx 10,640 \frac{1}{s}.}\)

\(\displaystyle{ \omega = \frac{2\pi}{T}}\)

\(\displaystyle{ \omega = \frac{2\pi}{0,615}\approx 10,217 \frac{1}{s}.}\)

\(\displaystyle{ \omega= 10,217 \frac{1}{s}< 10,640 \frac{1}{s} =\omega_{0}.}\)

W układzie masa-sprężyna występuje tłumienie o współczynniku tłumienia

\(\displaystyle{ b = \frac{\sqrt{\omega_{0}^2 - \omega^2}}{\omega_{0}}.}\)

\(\displaystyle{ b = \frac{{\sqrt{113,64 - 104,39}}}{113,64}\approx 0,027.}\)