Wycięto z kwarcu płytkę, której okres drgań własnych wynosi \(\displaystyle{ T_{0}=50ns}\), a następnie wzbudzono ją do drgań swobodnych tłumionych. Znając logarytmiczny dekrement tłumienia o wartości \(\displaystyle{ 0,002}\) proszę policzyć po jakim czasie energia zgromadzona w płytce zmaleje do \(\displaystyle{ 90\%}\).
Z góry dziękuję za pomoc i pozdrawiam.
Logarytmiczny dekrement tłumienia
-
wojtek1205
- Użytkownik
- Posty: 3
- Rejestracja: 7 kwie 2019, o 16:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Czeladź
- Podziękował: 1 raz
Logarytmiczny dekrement tłumienia
Ostatnio zmieniony 24 kwie 2019, o 09:04 przez AiDi, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Logarytmiczny dekrement tłumienia
Dane
\(\displaystyle{ T_{0}= 50ns = 50\cdot 10^{-9}s.}\)
\(\displaystyle{ \Lambda = 0,002 = 2\cdot 10^{-3}.}\)
Obliczyć
\(\displaystyle{ t_{x}}\) - czas, po którym energia zgromadzona w płytce zmaleje do \(\displaystyle{ 90\%.}\)
Rozwiązanie
\(\displaystyle{ \Lambda = \beta \cdot T = \beta \cdot T_{0}.}\)
\(\displaystyle{ E \propto A^2}\)
\(\displaystyle{ A(t) = A_{0}\cdot e^{-\beta\cdot t}}\)
\(\displaystyle{ E(t) = E_{0}\cdot e^{-2\beta\cdot t}}\)
\(\displaystyle{ E(t) = 0,9\cdot E_{0}= E_{0}\cdot e^{-2\beta \cdot t_{x}}}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \ln\left(\frac{9}{10}\right) = -2\beta \cdot t_{x}}.}\)
\(\displaystyle{ t_{x} = \frac{\ln\left(\frac{9}{10}\right)}{-2\beta}}\)
\(\displaystyle{ t_{x} =\frac{-\ln \left(\frac{9}{10}\right)}{2\beta}}\)
\(\displaystyle{ t_{x} = \frac{\ln\left(\frac{10}{9}\right)}{2\beta}}\)
\(\displaystyle{ t_{x} = \frac{T_{0}\cdot\ln \left( \frac{10}{9}\right)}{2\Lambda}.}\)
Podstawiając dane liczbowe
\(\displaystyle{ t_{x} = \frac{50\cdot 10^{-9}\cdot \ln\left(\frac{10}{9}\right)}{2\cdot 10^{-3}}s \approx 2,63 \cdot 10^{-6} s.}\)
\(\displaystyle{ T_{0}= 50ns = 50\cdot 10^{-9}s.}\)
\(\displaystyle{ \Lambda = 0,002 = 2\cdot 10^{-3}.}\)
Obliczyć
\(\displaystyle{ t_{x}}\) - czas, po którym energia zgromadzona w płytce zmaleje do \(\displaystyle{ 90\%.}\)
Rozwiązanie
\(\displaystyle{ \Lambda = \beta \cdot T = \beta \cdot T_{0}.}\)
\(\displaystyle{ E \propto A^2}\)
\(\displaystyle{ A(t) = A_{0}\cdot e^{-\beta\cdot t}}\)
\(\displaystyle{ E(t) = E_{0}\cdot e^{-2\beta\cdot t}}\)
\(\displaystyle{ E(t) = 0,9\cdot E_{0}= E_{0}\cdot e^{-2\beta \cdot t_{x}}}\)
Stąd
\(\displaystyle{ \ln\left(\frac{9}{10}\right) = -2\beta \cdot t_{x}}.}\)
\(\displaystyle{ t_{x} = \frac{\ln\left(\frac{9}{10}\right)}{-2\beta}}\)
\(\displaystyle{ t_{x} =\frac{-\ln \left(\frac{9}{10}\right)}{2\beta}}\)
\(\displaystyle{ t_{x} = \frac{\ln\left(\frac{10}{9}\right)}{2\beta}}\)
\(\displaystyle{ t_{x} = \frac{T_{0}\cdot\ln \left( \frac{10}{9}\right)}{2\Lambda}.}\)
Podstawiając dane liczbowe
\(\displaystyle{ t_{x} = \frac{50\cdot 10^{-9}\cdot \ln\left(\frac{10}{9}\right)}{2\cdot 10^{-3}}s \approx 2,63 \cdot 10^{-6} s.}\)