Witam. Mam pewien problem, otóż mamy sytuację, w której ciało zostało umieszczone na poziomej powierzchni i przyczepione do ściany przy pomocy sprężyny o współczynniku sprężystości \(\displaystyle{ k}\).
W pewnej chwili czasu ciało oddalono od położenia równowagi na odległość\(\displaystyle{ A}\), a następnie puszczono. Nie uwzględniamy sił oporu. W jaki sposób uzasadnić, że w tym ruchu spełniona jest zasada zachowania energii? Dziękuje za pomoc
Zasada zachowania energii
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Zasada zachowania energii
Jeden ze sposobów:
Jednowymiarowe równanie ruchu masy
\(\displaystyle{ m\cdot x'' = -kx.}\)
Zapisanie równania (1) w notacji prędkości.
Rozdzielenie zmiennych.
Obustronne scałkowanie.
Obustronne pomnożenie przez masę \(\displaystyle{ m.}\)
Jednowymiarowe równanie ruchu masy
\(\displaystyle{ m\cdot x'' = -kx.}\)
Zapisanie równania (1) w notacji prędkości.
Rozdzielenie zmiennych.
Obustronne scałkowanie.
Obustronne pomnożenie przez masę \(\displaystyle{ m.}\)
Ostatnio zmieniony 9 lut 2019, o 20:44 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Zasada zachowania energii
\(\displaystyle{ m\cdot x'' = -kx \ \ |\cdot \frac{1}{m}}\)
\(\displaystyle{ x'' = -\frac{k}{m}\cdot x}\)
\(\displaystyle{ x'' = \frac{dv}{dt}= \frac{dv}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}= v\cdot \frac{dv}{dx}}\)
\(\displaystyle{ v\cdot \frac{dv}{dx} + \frac{k}{m}\cdot x = 0}\)
\(\displaystyle{ v\cdot dv = -\frac{k}{m}x \cdot dx}\)
\(\displaystyle{ \int vdv = -\frac{k}{m} \int x\cdot dx}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}v^2 = -\frac{1}{2}\cdot \frac{k}{m}\cdot x^2 + C \ \ (1)}\)
\(\displaystyle{ C}\) - stała zależna od warunków początkowych.
Mnożymy obustronnie równanie (1) przez masę \(\displaystyle{ m}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}mv^2 +\frac{1}{2}k\cdot x^2= m\cdot C = const= E_{0} \ \ (2)}\)
Stała \(\displaystyle{ C}\) jest proporcjonalna do całkowitej energii mechanicznej \(\displaystyle{ E_{0}}\) oscylatora.
Równanie \(\displaystyle{ (2)}\) przedstawia zasadę zachowania energii mechanicznej.
Dokonując dalszych przekształceń, można wykazać, że całkowita energia drgającego bez tarcia na sprężynie ciała \(\displaystyle{ E_{0}}\) jest wprost proporcjonalna do kwadratu amplitudy
\(\displaystyle{ E_{0} = \frac{1}{2}k\cdot A^2.}\)
\(\displaystyle{ x'' = -\frac{k}{m}\cdot x}\)
\(\displaystyle{ x'' = \frac{dv}{dt}= \frac{dv}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}= v\cdot \frac{dv}{dx}}\)
\(\displaystyle{ v\cdot \frac{dv}{dx} + \frac{k}{m}\cdot x = 0}\)
\(\displaystyle{ v\cdot dv = -\frac{k}{m}x \cdot dx}\)
\(\displaystyle{ \int vdv = -\frac{k}{m} \int x\cdot dx}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}v^2 = -\frac{1}{2}\cdot \frac{k}{m}\cdot x^2 + C \ \ (1)}\)
\(\displaystyle{ C}\) - stała zależna od warunków początkowych.
Mnożymy obustronnie równanie (1) przez masę \(\displaystyle{ m}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}mv^2 +\frac{1}{2}k\cdot x^2= m\cdot C = const= E_{0} \ \ (2)}\)
Stała \(\displaystyle{ C}\) jest proporcjonalna do całkowitej energii mechanicznej \(\displaystyle{ E_{0}}\) oscylatora.
Równanie \(\displaystyle{ (2)}\) przedstawia zasadę zachowania energii mechanicznej.
Dokonując dalszych przekształceń, można wykazać, że całkowita energia drgającego bez tarcia na sprężynie ciała \(\displaystyle{ E_{0}}\) jest wprost proporcjonalna do kwadratu amplitudy
\(\displaystyle{ E_{0} = \frac{1}{2}k\cdot A^2.}\)
Ostatnio zmieniony 9 lut 2019, o 20:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.