Matematyka.pl

Cześć, czy mógłby ktoś rozwiązać, to równanie różniczkowe dla zadania:
Określić drgania wymuszone układu pod wpływem siły wymuszającej \(\displaystyle{ F(t)}\), jeżeli w chwili początkowej układ spoczywał w położeniu równowagi \(\displaystyle{ x=0 \ i \ x'=0 \ dla \ F(t)=at}\)

Nie musi być bardzo szczegółowo.

\(\displaystyle{ \frac{d^2x}{dx^2}+\omega^2x= \frac{at}{m}}\)

gdzie, \(\displaystyle{ a-amplituda, t-czas, x-polozenie, x'-predkosc, m-masa}\)

Dla niejednorodności w formie wielomianu przewidujemy całkę szczególną równania niejednorodnego jako wielomian tego samego stopnia przemnożony przez \(\displaystyle{ x^s}\), gdzie s jest krotnością zera jako pierwiastka charakterystycznego.

Okej okej, dzięki za podpowiedź. Nie chcę już rozwiązania na stronie, ale gdyby ktoś mógł sprawdzić, czy po wstawieniu warunków początkowych itp. to poprawny wynik:
\(\displaystyle{ x=\frac{at}{mw^2}}\)

To poprawny wynik jeśli chodzi o całkę szczególną równania niejednorodnego.

Wstaw i sprawdź Ale na oko to nie jest ani drganie ani tłumione

\(\displaystyle{ x''(t) + \omega^2 x(t) =\frac{at}{m}\ \ (0)}\)

Równanie \(\displaystyle{ (0)}\) jest równaniem różniczkowym rzędu drugiego-niejednorodnym o stałych współczynnikach.

Znajdujemy najpierw rozwiązanie ogólne równania różniczkowego rzędu drugiego jednorodnego:

\(\displaystyle{ x''(t) +\omega^2 x(t) =0 \ \ (1)}\)

Odpowiadające mu równanie charakterystyczne:

\(\displaystyle{ r^2 + \omega^2 =0 \ \ (2)}\)

ma pierwiastki zespolone:

\(\displaystyle{ r_{1}= - \sqrt{\omega^2} = -\omega \cdot i,}\)

\(\displaystyle{ r_{2} = \sqrt{\omega^2} = \omega\cdot i.}\)

W takim razie rozwiązanie ogólne równania \(\displaystyle{ (2)}\) ma postać:

\(\displaystyle{ x(t) = c_{1}\sin(\omega t) + c_{2}\cos(\omega t)}\)

\(\displaystyle{ x(t) = c_{1}\left(\sin(\omega t) + \frac{c_{2}}{c_{1}} \cos(\omega t) \right)}\)

Wprowadzając pomocniczy kąt \(\displaystyle{ \phi}\) za pomocą zależności :

\(\displaystyle{ \frac{c_{2}}{c_{1}} = \tg(\phi)}\)

otrzymamy:

\(\displaystyle{ x(t) = \frac{c_{1}}{\cos(\phi)}\left( \cos(\phi)\sin(\omega t) +\sin(\phi)\cos(\omega t)\right)}\)

Oznaczając jeszcze:

\(\displaystyle{ \frac{C_{1}}{\cos(\phi)} = A}\) mamy rozwiązanie ogólne równania jednorodnego w postaci:

\(\displaystyle{ x_{o}(t) = A\sin(\omega t +\phi)\ \ (3)}\)

Równanie \(\displaystyle{ (3)}\) przedstawia drgania harmoniczne o amplitudzie \(\displaystyle{ A}\) i fazie początkowej \(\displaystyle{ \phi.}\)

Okres drgań \(\displaystyle{ T}\) znajdujemy ze wzoru:

\(\displaystyle{ \omega(t+T) +\phi = \omega t +\phi + 2\pi}\)

Skąd

\(\displaystyle{ T =\frac{2\pi}{\omega}}\)

a więc częstotliwość kątowa:

\(\displaystyle{ \omega = \frac{2\pi}{T}.}\)

Uwzględniając poprawnie wyznaczoną całkę szczególną równania niejednorodnego:

\(\displaystyle{ x_{s}(t) = \frac{a\cdot t}{m\cdot \omega^2}}\)

Rozwiązanie ogólne równania \(\displaystyle{ (0)}\)

\(\displaystyle{ x(t) = x_{o}(t) +x_{s}(t)= A\sin(\omega t +\phi) + \frac{a\cdot t}{m\cdot \omega^2}}\)

Uwzględniamy warunki początkowe: \(\displaystyle{ x(0) = 0, \ \ x'(0) = 0,}\) otrzymujemy:

\(\displaystyle{ x(t) = -\frac{a}{m\omega ^3}\sin(\omega t) + \frac{a\cdot t}{m\cdot \omega^2}.}\)

Dziękuję za wyczerpujące rozwiązanie, ale mam jeszcze takie małe pytanko do CSRN nie do końca mam pewność czy dobrze ją wyznaczyłem czy miałem po prostu szczęście albo zbieg okoliczności, gdyż w innych nie bardzo mi, to wychodzi. Mógłbyś tak w ogólności nakreślić jej wyznaczanie?

Nie aktualne, poradziłem sobie.