Cześć, czy mógłby ktoś rozwiązać, to równanie różniczkowe dla zadania:
Określić drgania wymuszone układu pod wpływem siły wymuszającej \(\displaystyle{ F(t)}\), jeżeli w chwili początkowej układ spoczywał w położeniu równowagi \(\displaystyle{ x=0 \ i \ x'=0 \ dla \ F(t)=at}\)
Nie musi być bardzo szczegółowo.
\(\displaystyle{ \frac{d^2x}{dx^2}+\omega^2x= \frac{at}{m}}\)
gdzie, \(\displaystyle{ a-amplituda, t-czas, x-polozenie, x'-predkosc, m-masa}\)
Drgania tłumione siłą at
-
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 21 sie 2017, o 18:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wyszków
- Podziękował: 2 razy
Drgania tłumione siłą at
Ostatnio zmieniony 16 gru 2018, o 13:25 przez ewenementh, łącznie zmieniany 1 raz.
- PawelJan
- Użytkownik
- Posty: 971
- Rejestracja: 18 sie 2005, o 12:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Oleszyce/Kraków
- Pomógł: 209 razy
Re: Drgania tłumione siłą at
Dla niejednorodności w formie wielomianu przewidujemy całkę szczególną równania niejednorodnego jako wielomian tego samego stopnia przemnożony przez \(\displaystyle{ x^s}\), gdzie s jest krotnością zera jako pierwiastka charakterystycznego.
-
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 21 sie 2017, o 18:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wyszków
- Podziękował: 2 razy
Drgania tłumione siłą at
Okej okej, dzięki za podpowiedź. Nie chcę już rozwiązania na stronie, ale gdyby ktoś mógł sprawdzić, czy po wstawieniu warunków początkowych itp. to poprawny wynik:
\(\displaystyle{ x=\frac{at}{mw^2}}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{at}{mw^2}}\)
- PawelJan
- Użytkownik
- Posty: 971
- Rejestracja: 18 sie 2005, o 12:11
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Oleszyce/Kraków
- Pomógł: 209 razy
Re: Drgania tłumione siłą at
To poprawny wynik jeśli chodzi o całkę szczególną równania niejednorodnego.
-
- Użytkownik
- Posty: 7918
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Drgania tłumione siłą at
\(\displaystyle{ x''(t) + \omega^2 x(t) =\frac{at}{m}\ \ (0)}\)
Równanie \(\displaystyle{ (0)}\) jest równaniem różniczkowym rzędu drugiego-niejednorodnym o stałych współczynnikach.
Znajdujemy najpierw rozwiązanie ogólne równania różniczkowego rzędu drugiego jednorodnego:
\(\displaystyle{ x''(t) +\omega^2 x(t) =0 \ \ (1)}\)
Odpowiadające mu równanie charakterystyczne:
\(\displaystyle{ r^2 + \omega^2 =0 \ \ (2)}\)
ma pierwiastki zespolone:
\(\displaystyle{ r_{1}= - \sqrt{\omega^2} = -\omega \cdot i,}\)
\(\displaystyle{ r_{2} = \sqrt{\omega^2} = \omega\cdot i.}\)
W takim razie rozwiązanie ogólne równania \(\displaystyle{ (2)}\) ma postać:
\(\displaystyle{ x(t) = c_{1}\sin(\omega t) + c_{2}\cos(\omega t)}\)
\(\displaystyle{ x(t) = c_{1}\left(\sin(\omega t) + \frac{c_{2}}{c_{1}} \cos(\omega t) \right)}\)
Wprowadzając pomocniczy kąt \(\displaystyle{ \phi}\) za pomocą zależności :
\(\displaystyle{ \frac{c_{2}}{c_{1}} = \tg(\phi)}\)
otrzymamy:
\(\displaystyle{ x(t) = \frac{c_{1}}{\cos(\phi)}\left( \cos(\phi)\sin(\omega t) +\sin(\phi)\cos(\omega t)\right)}\)
Oznaczając jeszcze:
\(\displaystyle{ \frac{C_{1}}{\cos(\phi)} = A}\) mamy rozwiązanie ogólne równania jednorodnego w postaci:
\(\displaystyle{ x_{o}(t) = A\sin(\omega t +\phi)\ \ (3)}\)
Równanie \(\displaystyle{ (3)}\) przedstawia drgania harmoniczne o amplitudzie \(\displaystyle{ A}\) i fazie początkowej \(\displaystyle{ \phi.}\)
Okres drgań \(\displaystyle{ T}\) znajdujemy ze wzoru:
\(\displaystyle{ \omega(t+T) +\phi = \omega t +\phi + 2\pi}\)
Skąd
\(\displaystyle{ T =\frac{2\pi}{\omega}}\)
a więc częstotliwość kątowa:
\(\displaystyle{ \omega = \frac{2\pi}{T}.}\)
Uwzględniając poprawnie wyznaczoną całkę szczególną równania niejednorodnego:
\(\displaystyle{ x_{s}(t) = \frac{a\cdot t}{m\cdot \omega^2}}\)
Rozwiązanie ogólne równania \(\displaystyle{ (0)}\)
\(\displaystyle{ x(t) = x_{o}(t) +x_{s}(t)= A\sin(\omega t +\phi) + \frac{a\cdot t}{m\cdot \omega^2}}\)
Uwzględniamy warunki początkowe: \(\displaystyle{ x(0) = 0, \ \ x'(0) = 0,}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x(t) = -\frac{a}{m\omega ^3}\sin(\omega t) + \frac{a\cdot t}{m\cdot \omega^2}.}\)
Równanie \(\displaystyle{ (0)}\) jest równaniem różniczkowym rzędu drugiego-niejednorodnym o stałych współczynnikach.
Znajdujemy najpierw rozwiązanie ogólne równania różniczkowego rzędu drugiego jednorodnego:
\(\displaystyle{ x''(t) +\omega^2 x(t) =0 \ \ (1)}\)
Odpowiadające mu równanie charakterystyczne:
\(\displaystyle{ r^2 + \omega^2 =0 \ \ (2)}\)
ma pierwiastki zespolone:
\(\displaystyle{ r_{1}= - \sqrt{\omega^2} = -\omega \cdot i,}\)
\(\displaystyle{ r_{2} = \sqrt{\omega^2} = \omega\cdot i.}\)
W takim razie rozwiązanie ogólne równania \(\displaystyle{ (2)}\) ma postać:
\(\displaystyle{ x(t) = c_{1}\sin(\omega t) + c_{2}\cos(\omega t)}\)
\(\displaystyle{ x(t) = c_{1}\left(\sin(\omega t) + \frac{c_{2}}{c_{1}} \cos(\omega t) \right)}\)
Wprowadzając pomocniczy kąt \(\displaystyle{ \phi}\) za pomocą zależności :
\(\displaystyle{ \frac{c_{2}}{c_{1}} = \tg(\phi)}\)
otrzymamy:
\(\displaystyle{ x(t) = \frac{c_{1}}{\cos(\phi)}\left( \cos(\phi)\sin(\omega t) +\sin(\phi)\cos(\omega t)\right)}\)
Oznaczając jeszcze:
\(\displaystyle{ \frac{C_{1}}{\cos(\phi)} = A}\) mamy rozwiązanie ogólne równania jednorodnego w postaci:
\(\displaystyle{ x_{o}(t) = A\sin(\omega t +\phi)\ \ (3)}\)
Równanie \(\displaystyle{ (3)}\) przedstawia drgania harmoniczne o amplitudzie \(\displaystyle{ A}\) i fazie początkowej \(\displaystyle{ \phi.}\)
Okres drgań \(\displaystyle{ T}\) znajdujemy ze wzoru:
\(\displaystyle{ \omega(t+T) +\phi = \omega t +\phi + 2\pi}\)
Skąd
\(\displaystyle{ T =\frac{2\pi}{\omega}}\)
a więc częstotliwość kątowa:
\(\displaystyle{ \omega = \frac{2\pi}{T}.}\)
Uwzględniając poprawnie wyznaczoną całkę szczególną równania niejednorodnego:
\(\displaystyle{ x_{s}(t) = \frac{a\cdot t}{m\cdot \omega^2}}\)
Rozwiązanie ogólne równania \(\displaystyle{ (0)}\)
\(\displaystyle{ x(t) = x_{o}(t) +x_{s}(t)= A\sin(\omega t +\phi) + \frac{a\cdot t}{m\cdot \omega^2}}\)
Uwzględniamy warunki początkowe: \(\displaystyle{ x(0) = 0, \ \ x'(0) = 0,}\) otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x(t) = -\frac{a}{m\omega ^3}\sin(\omega t) + \frac{a\cdot t}{m\cdot \omega^2}.}\)
Ostatnio zmieniony 16 gru 2018, o 19:41 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
-
- Użytkownik
- Posty: 11
- Rejestracja: 21 sie 2017, o 18:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wyszków
- Podziękował: 2 razy
Re: Drgania tłumione siłą at
Dziękuję za wyczerpujące rozwiązanie, ale mam jeszcze takie małe pytanko do CSRN nie do końca mam pewność czy dobrze ją wyznaczyłem czy miałem po prostu szczęście albo zbieg okoliczności, gdyż w innych nie bardzo mi, to wychodzi. Mógłbyś tak w ogólności nakreślić jej wyznaczanie?
Nie aktualne, poradziłem sobie.
Nie aktualne, poradziłem sobie.