Oblicz siłę jaką ciężarek działa na nitkę.

[Artut97]

Wahadło matematyczne ma długość \(\displaystyle{ 1m}\) i wykonuje drgania o amplitudzie \(\displaystyle{ 10cm}\). Oblicz siłę, jaką ciężarek o masie \(\displaystyle{ 10g}\) działa na nitkę po \(\displaystyle{ 0,2s}\) od chwili maksymalnego wychylenia.

Odpowiedź w książce:

\(\displaystyle{ F_{n}=mg\left[ 1+\frac{A^{2}\sin^{2}{\left( \omega t_{1}}\right) }{l^{2}}-\frac{A^{2}\cos^{2}{\left( \omega t_{1}\right) }}{2l^{2}}\right]=0,098N}\)

Moje rozwiązanie:

Zakładam (jak to też robiono przy wyprowadzaniu wzoru na okres drgań wahadła matematycznego), że są to małe wychylenia i spełniona jest równość \(\displaystyle{ \sin{x}=x}\). Wtedy według mnie \(\displaystyle{ \vec{F_{n}}=\left[ a\left( t\right), mg \right]}\).

\(\displaystyle{ t=0,2s}\)

Warunek na maksymalne wychylenie:

\(\displaystyle{ \sin\left( \omega t_{max}\right) = 1 \rightarrow \omega t_{max} = \frac{\pi}{2} \rightarrow t_{max}=\frac{\pi}{2}\sqrt{\frac{l}{g}}}\)

Wtedy szukana chwila wyraża się wzorem:

\(\displaystyle{ t'=t_{max}+t}\)

Wzór na przyspieszenie w ruchu harmonicznym:

\(\displaystyle{ a(t)=-A\omega^{2}\sin{\left( \omega t\right) }=-A\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}\sin{\left( \frac{2\pi}{T}\cdot t}\right)=\frac{-Ag}{l}\sin{\left(\sqrt{\frac{g}{l}} \cdot t\right) }}\)

\(\displaystyle{ \vec{F_{n}}=\left[\frac{-Ag}{l}\sin{\left(\sqrt{\frac{g}{l}} \cdot t\right) }, -mg \right]}\)

\(\displaystyle{ \left| \vec{F_{n}}\right|=\sqrt{\left( \frac{-Ag}{l}\sin{\left(\sqrt{\frac{g}{l}} \cdot t\right)}\right)^{2} +m^{2}g^{2}} = 0,888N}\)

Gdzie jest błąd w moim rozumowaniu?

[korki_fizyka]

Na siłę napinającą nitkę składają się dwie siły:
- radialna składowa siły ciężkości \(\displaystyle{ Q_r = mg \cos \alpha}\) oraz
- siła odśrodkowa bezwładności \(\displaystyle{ F_r = \frac{mv^2}{r}}\).

wychylenie prościej przedstawiać wzorem \(\displaystyle{ x \left( t \right) = A\cos \omega t}\) wtedy \(\displaystyle{ v \left( t \right) = -A\omega\sin \omega t}\), gdzie \(\displaystyle{ \omega = \sqrt{ \frac{g}{l} }}\) i siła naciągu\(\displaystyle{ F_n = mg \left[ \cos \left( t\sqrt{ \frac{g}{l}} \right) + \frac{A^2}{l}\sin^2 \left( t \sqrt{\frac{g}{l}} \right) \right] \approx 0,098\ N}\).

[AiDi]

- siła odśrodkowa bezwładności \(\displaystyle{ F_r = \frac{mv^2}{r}}\)

W związku z czym trzeba na samym początku zaznaczyć, że rozwiązujemy zadanie w układzie nieinercjalnym związanym z wahadłem.

[Artut97]

\(\displaystyle{ \vec{F_{nd}}}\) - siła prostopadła do dośrodkowej
\(\displaystyle{ \vec{F_{d}}}\) - siła dośrodkowa



Zapisałem siły \(\displaystyle{ \vec{F_{nd}}}\) i \(\displaystyle{ \vec{F_{d}}}\) za pomocą składowych tj.:

\(\displaystyle{ \vec{F_{nd}}=\left( mg\sin{\left( \frac{\pi}{2}+0,2\sqrt{\frac{g}{l}}\right) };0\right)}\)
\(\displaystyle{ \vec{F_{d}}=\left( 0;\frac{mA^{2}g\cos^{2}{\left( \frac{\pi}{2}+0,2\sqrt{\frac{g}{l}}\right) }}{l^{2}}\right)}\)

I nie rozumiem w jaki sposób dojść do tego, że \(\displaystyle{ \left| \vec{F_{n}}\right| =\left| \vec{F_{d}}\right|+\left| \vec{F_{nd}}\right|}\)

-- 27 lis 2018, o 15:07 --

Udało mi się policzyć, ale nadal źle..

Zapisałem ciężar za pomocą składowych:

\(\displaystyle{ \vec{Q}=\left( mg\sin{\alpha};-mg\cos{\alpha}\right)}\)

Siłę \(\displaystyle{ \vec{F}}\) tak samo:

\(\displaystyle{ \vec{F}=\left( F_{nd};F_{d}\right)}\)

\(\displaystyle{ \vec{F}=\vec{F_{n}}+\vec{Q}\rightarrow \vec{F_{n}}=\vec{F}-\vec{Q}=\left( 0;mg\sin{\left( 0,2\sqrt{\frac{g}{l}}\right) }\left[ \frac{A}{l^{2}}+1\right] \right)}\)

\(\displaystyle{ F_{n} \approx 0,063N}\)-- 28 lis 2018, o 19:23 --Po paru poprawkach wyszło, dzięki za pomoc.