Matematyka.pl

Wyprowadź wzór na okres drgań ciężarka o masie \(\displaystyle{ m}\) zawieszonego na dwóch sprężynach o jednakowej długości, ale o różnych współczynnikach sprężystości \(\displaystyle{ k_{1}}\) i \(\displaystyle{ k_{2}}\), połączonych tak jak na rysunku:



Nie mam żadnego pomysłu.

Takie dwie sprężyny łączone szeregowo można zastąpić jedną o współczynniku \(\displaystyle{ k_Z= \left( \frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2} \right) ^{-1}}\). Ogólnie z łączeniem sprężyn jest jak z łączeniem kondensatorów, jeśli pamiętasz to ze szkoły. Jak to wyprowadzić? Siła działająca na każdą sprężynę (te dwie połączone i jedną zastępczą) jest taka sama i równa \(\displaystyle{ F}\). Wydłużenie całkowite jest równe sumie wydłużeń: \(\displaystyle{ x_c=x_1+x_2}\). Podstawiamy \(\displaystyle{ x_c=\frac{F}{k_Z},x_1=\frac{F}{k_1}}\) i \(\displaystyle{ x_2=\frac{F}{k_2}}\). Jak już znajdziesz \(\displaystyle{ k_Z}\) to możesz skorzystać ze wzoru na okres drgań wahadła sprężynowego.

A jeśli są połączone równolegle, to wtedy \(\displaystyle{ k_{z}=k_{1}+k_{2}}\). Można jakoś to wyprowadzić?

Tak, praktycznie tak samo. Siła całkowita działająca na obie sprężyny jest równa sumie sił. Tym razem wydłużenia są takie same. \(\displaystyle{ F_z=F_1+F_2}\), czyli \(\displaystyle{ k_zx=k_1x+k_2x}\).