Matematyka.pl

Witam,
Mam pręt o gęstości \(\displaystyle{ \Rho}\) oraz o module Younga E. Wyprowadzam równanie dla fal podłużnych pręta.

\(\displaystyle{ \Delta x}\) - długość odcinka jaki biorę pod uwagę
Z II zasady dynamiki:
\(\displaystyle{ ma=F}\)
\(\displaystyle{ m\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial t^2} = \sigma(x+\Delta x) - \sigma(x)}\)
\(\displaystyle{ \sigma}\) to napręzenie.

To jest jasne. W wyprowadzaniu pojawia się następujące podstawienie:
\(\displaystyle{ \sigma(x+\Delta x) - \sigma(x) = \frac{\partial \sigma(x,t)}{\partial x} \Delta x}\)

Kompletnie nie rozumiem skąd wzieło się to podstawienie. Podejrzewam związek z prawem Hooke'a. Ale nie widzę go.

Dlaczego mogę tak napisać?

Zależność

\(\displaystyle{ \sigma(x+\Delta x) - \sigma(x) = \frac{\partial \sigma(x,t)}{\partial x} \Delta x}\)

wynika z wzoru na różniczkowy przyrost funkcji w punkcie:

\(\displaystyle{ \left[ \sigma(x + dx) - \sigma(x)\right]\left( x _{0} \right) = d \sigma\left( x _{0} \right) = \frac{d\sigma(x,t)}{\partial x}\left( x _{0}\right) \cdot dx\left| _{t = const}}\)