Transmitancja zastępcza układu

[Arek189]

Kod: Zaznacz cały

https://imgur.com/1tqsTlg

Jest ktoś w stanie wyjaśnić mi krok po kroku jak policzyć transmitancje zastępczą układu

[Janusz Tracz]

Wydaje mi się, że na \(\displaystyle{ 2}\) sumator wchodzi transmitancja \(\displaystyle{ \mathcal{G}_1(s)}\) (co jest oczywiste) oraz po prostu \(\displaystyle{ \mathbf{1}}\) bo pierwszy węzeł informacyjny możesz rozszczepić. Więc uważam, że na lini głównej sprzężenia zwrotnego jest zatem \(\displaystyle{ \mathcal{G}_1(s)+1}\) więc transmitancja zastępcza to

\(\displaystyle{ \mathcal{G}_{\text{z}}(s)= \frac{\mathcal{G}_1(s)+1}{1-\mathcal{G}_2(s)\left[ \mathcal{G}_1(s)+1 \right] } }\)

PS dawno się tym nie zajmowałem więc możliwe, że gdzieś zrobiłem jakiś głupi błąd.

[kerajs]

A może tak:

Sygnał wchodzący do \(\displaystyle{ G_1}\) nazwę \(\displaystyle{ A}\).
Lewy węzeł:
\(\displaystyle{ A=U+YG_2}\)
Prawy węzeł:
\(\displaystyle{ Y=U+AG_1}\)
Podstawiam A:
\(\displaystyle{ Y=U+(U+YG_2)G_1 \\
Y(1-G_1G_2)=U(1+G_1)\\
\frac{Y}{U}= \frac{1+G_1}{1-G_1G_2} }\)

[Janusz Tracz]

Kerajs masz rację. Wiesz może dlaczego nie zadziałał tu standardowy wzór z pętlę sprzężenia zwrotnego? Nie można zwinąć tego dodatkowego sygnału \(\displaystyle{ U}\) i włączyć do w główną linię sprzężenia (robiąc na tej lini \(\displaystyle{ \mathcal{G}_1(s)+1}\))? No bo nasze wyniki różnią się jedynką w mianowniku jak się oprzeć na tym co piszę to powinna być (czyli prawdopodobnie błąd logiczny robię) ale jak to przeliczyłem tak jak Ty to faktycznie jej nie ma (i się zgadzam z Twoją wersją bo to jednak przeliczone).

[Arek189]

Dobra a czemu w liczniku mamy \(\displaystyle{ G_{1}}\) +1 ??

[kerajs]

Dopiszę pominięte elementarne przekształcenia

\(\displaystyle{ Y=U+(U+YG_2)G_1 }\)
\(\displaystyle{ Y=U+G_1U+YG_1G_2 \\
Y-YG_1G_2=U+G_1U }\)
\(\displaystyle{ Y(1-G_1G_2)=U(1+G_1) }\)
\(\displaystyle{ Y(1-G_1G_2)=U(1+G_1) \ \ \bigg|: U}\)
\(\displaystyle{ \frac{Y}{U} (1-G_1G_2)=1+G_1 \ \ \bigg|: (1-G_1G_2)}\)
\(\displaystyle{ \frac{Y}{U}= \frac{1+G_1}{1-G_1G_2} }\)


PS

Nie można zwinąć tego dodatkowego sygnału \(\displaystyle{ U}\) i włączyć do w główną linię sprzężenia (robiąc na tej lini \(\displaystyle{ \mathcal{G}_1(s)+1}\))?

Owszem, nie można. Wzorek na dodatnie sprzężenie zwrotne który stosujesz został wyprowadzony dla układu bez dodatkowego sygnału i tylko dla takich układów może być stosowany.
Uważam, że niepotrzebnie zmusza się studentów do stosowania gotowych wzorów na sprzężenia zwrotne, gdyż ciut bardziej skomplikowany układ lub wprowadzenie sygnałów sterujących (tu ten dodatkowy U jest sygnałem autoregulacji) zmusza do powrotu do prostej i uniwersalnej metody rozpisywania sygnałów pośrednich.

[Arek189]

Dobra próbowałem to zrobić i wyszło mi tak jak dla Janusz Tracz czy to rozwiązanie kerajs jest na pewno dobrze??

Kod: Zaznacz cały

https://imgur.com/oS2ZPF8

Dodano po 4 minutach 9 sekundach:
Dobra mam jeszcze jedno pytanie czy odpowiedź skokowa układu o transmitancji G(s)=\(\displaystyle{ \frac{5s}{(s+1)}}\)
wynosi h(t)=\(\displaystyle{ 5e^{-1t}}\) ???

[Janusz Tracz]

Dobra próbowałem to zrobić i wyszło mi tak jak dla Janusz Tracz czy to rozwiązanie kerajs jest na pewno dobrze??

Tak rozwiązanie kerajsa jest dobre bo jest przeliczone. Ja zastosowałem wzór (na pętlę sprzężenia zwrotnego) zresztą tak samo jak Ty teraz pokazujesz. Tylko, że było to nieuprawnione w tym miejscu:

Wzorek na dodatnie sprzężenie zwrotne który stosujesz został wyprowadzony dla układu bez dodatkowego sygnału i tylko dla takich układów może być stosowany.

A tu mamy sygnał dodatkowy \(\displaystyle{ U}\) z zewnątrz.

Dobra mam jeszcze jedno pytanie czy odpowiedź skokowa układu o transmitancji \(\displaystyle{ \mathcal{G}(s)= \frac{5s}{s+1} }\)wynosi \(\displaystyle{ h(t)=5e^{-t}}\) ?

Tak. Tu znowu opcje są dwie albo pomięta się wzorek na odpowiedź przy pobudzeniu jednostkowy tj.:

\(\displaystyle{ h(t)=\mathscr{L}^{-1}\left\{ \frac{\mathcal{G}(s)}{s} \right\} }\)

I po podstawieniu wychodzi, że

\(\displaystyle{ h(t)=\mathscr{L}^{-1}\left\{ \frac{ \frac{5s}{s+1} }{s} \right\} =\mathscr{L}^{-1}\left\{ \frac{5}{s+1} \right\} = 5e^{-t}}\)

albo przeliczamy to za każdym razem (co ja osobiście uważam, że lepsze rozwiązanie bo nie trzeba nic pamiętać). Wtedy z definicji piszemy, że:

\(\displaystyle{ \mathcal{G}(s)= \frac{\mathcal{H}(s)}{\mathcal{U}(s)} }\)

Zatem

\(\displaystyle{ \mathcal{H}(s)=\mathcal{U}(s) \cdot \mathcal{G}(s)}\)

A ponieważ pobudzenie jest skokiem to \(\displaystyle{ \mathcal{U}(s)= \frac{1}{s} }\) zatem

\(\displaystyle{ \mathcal{H}(s)= \frac{1}{s} \cdot \mathcal{G}(s) }\)

\(\displaystyle{ \mathcal{H}(s)= \frac{1}{s} \cdot \frac{5s}{s+1} =\frac{5}{s+1} }\)

Czyli

\(\displaystyle{ h(t)=\mathscr{L}^{-1}\left\{ \mathcal{H}(s) \right\} =\mathscr{L}^{-1}\left\{ \frac{5}{s+1} \right\} =5e^{-t} }\)

[Arek189]

Okey dobra dzięki wielkie za pomoc