Matematyka.pl

Cześć!

Mam za zadanie udowodnić, że system jest liniowy na podstawie podanego w postaci całki sygnału \(\displaystyle{ y(t)}\). Czy ktoś mógłby mi nakreślić w jaki sposób się tego dokonuje?

Pozdrawiam!

Sygnał \(\displaystyle{ y(t)}\) jest liniowy, jeśli jest:

- jednorodny \(\displaystyle{ y(t) = \int a\cdot u(t) dt = a\int u(t)dt, \ \ a = const.}\)

- addytywny \(\displaystyle{ y(t) =\int \sum_{i=1}^{n}u_{i}(t) dt = \sum_{i=1}^{n}\int u_{i}dt.}\)

A co w przypadku, gdy sygnał wyjściowy nie jest wyrażony całką?

Ogólniej.

\(\displaystyle{ y(t) = O[a\cdot u(t)] = a\cdot O[u(t)]}\)

Wyjście sygnału (systemu) pobudzanego pojedynczym wejściem \(\displaystyle{ u(t)}\) wzmocnionym \(\displaystyle{ a}\) razy jest wzmocnione w takim samym stopniu wyjściem sygnału (systemu) odpowiadającemu wyjściu.

\(\displaystyle{ y(t)= O[\sum_{i=1}^{n}u_{i}(t)] = \sum_{i=1}^{k}O[u_{i}(t)].}\)

Wyjście sygnału (systemu) pobudzanego przez sumę wejść jest równe takiej samej sumie wyjść obserwowanych dla każdego z tych wejść oddzielnie.