Cześć!
Mam za zadanie udowodnić, że system jest liniowy na podstawie podanego w postaci całki sygnału \(\displaystyle{ y(t)}\). Czy ktoś mógłby mi nakreślić w jaki sposób się tego dokonuje?
Pozdrawiam!
Dowód na liniowość systemu
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Dowód na liniowość systemu
Sygnał \(\displaystyle{ y(t)}\) jest liniowy, jeśli jest:
- jednorodny \(\displaystyle{ y(t) = \int a\cdot u(t) dt = a\int u(t)dt, \ \ a = const.}\)
- addytywny \(\displaystyle{ y(t) =\int \sum_{i=1}^{n}u_{i}(t) dt = \sum_{i=1}^{n}\int u_{i}dt.}\)
- jednorodny \(\displaystyle{ y(t) = \int a\cdot u(t) dt = a\int u(t)dt, \ \ a = const.}\)
- addytywny \(\displaystyle{ y(t) =\int \sum_{i=1}^{n}u_{i}(t) dt = \sum_{i=1}^{n}\int u_{i}dt.}\)
-
janusz47
- Użytkownik
- Posty: 7917
- Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 1671 razy
Re: Dowód na liniowość systemu
Ogólniej.
\(\displaystyle{ y(t) = O[a\cdot u(t)] = a\cdot O[u(t)]}\)
Wyjście sygnału (systemu) pobudzanego pojedynczym wejściem \(\displaystyle{ u(t)}\) wzmocnionym \(\displaystyle{ a}\) razy jest wzmocnione w takim samym stopniu wyjściem sygnału (systemu) odpowiadającemu wyjściu.
\(\displaystyle{ y(t)= O[\sum_{i=1}^{n}u_{i}(t)] = \sum_{i=1}^{k}O[u_{i}(t)].}\)
Wyjście sygnału (systemu) pobudzanego przez sumę wejść jest równe takiej samej sumie wyjść obserwowanych dla każdego z tych wejść oddzielnie.
\(\displaystyle{ y(t) = O[a\cdot u(t)] = a\cdot O[u(t)]}\)
Wyjście sygnału (systemu) pobudzanego pojedynczym wejściem \(\displaystyle{ u(t)}\) wzmocnionym \(\displaystyle{ a}\) razy jest wzmocnione w takim samym stopniu wyjściem sygnału (systemu) odpowiadającemu wyjściu.
\(\displaystyle{ y(t)= O[\sum_{i=1}^{n}u_{i}(t)] = \sum_{i=1}^{k}O[u_{i}(t)].}\)
Wyjście sygnału (systemu) pobudzanego przez sumę wejść jest równe takiej samej sumie wyjść obserwowanych dla każdego z tych wejść oddzielnie.