Strona 1 z 1

Metoda operatorowa

: 6 sty 2019, o 11:20
autor: Cassandra19x
Witam, mam do rozwiązania zadanie:
Wyznaczyć prąd w oporniku \(\displaystyle{ R_{1}}\), jeśli przed rozwarciem układ był w stanie ustalonym, a \(\displaystyle{ U(t)=E}\).

Schemat:


Trzeba tu zastosować metodę operatorową? Mam rację? Generalnie wiem o co mniej więcej w niej chodzi, ale nie wiem jak się zabrać za ustalenie tych warunków początkowych. Nie mam pojęcia jak zacząć. Byłabym wdzięczna chociaż za wskazówki.

Re: Metoda operatorowa

: 6 sty 2019, o 18:57
autor: Janusz Tracz
Od matury tego nie robiłem więc nie bierz tego za pewnik ale ja zapisał bym to tak:
Ukryta treść:    

Metoda operatorowa

: 6 sty 2019, o 19:11
autor: janusz47
Przed otwarciem wyłącznika, na zaciskach kondensatora \(\displaystyle{ C}\) istniało napięcie

\(\displaystyle{ \frac{U\cdot R_{2}}{R_{1}+R_{2}}.}\)

Stąd

\(\displaystyle{ u_{C}(0)= \frac{U\cdot R_{2}}{R_{1}+R_{2}}.}\)

Na podstawie II prawa Kirchhoffa w postaci operatorowej, otrzymujemy

\(\displaystyle{ \left( R_{1} +\frac{1}{s\cdot C}\right) \cdot I(s) = \frac{E}{s} - \frac{u_{C}(0)}{s}.}\)

Stąd

\(\displaystyle{ I(s) = [ U - u_{C}(0)] \cdot C \cdot \frac{1}{1 + s\cdot C\cdot R_{1}}= [ U - u_{C}(0)] \cdot C \cdot \frac{1}{1 + s\cdot \tau} \ \ (1)}\)

gdzie

\(\displaystyle{ \tau = C\cdot R_{1}}\)- stała czasowa.

Wyznaczamy oryginał transformaty \(\displaystyle{ (1)}\)

\(\displaystyle{ i(t)=\mathcal{L}^{-1}[I(s)] =[U -u_{C}(0) ]\cdot C\cdot \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{1+ s\cdot \tau}\right] = \frac{U}{R_{1}+R_{2}}e^{\frac{-t }{\tau}}.}\)