Matematyka.pl

Zadanie 1.

Zasymuluj działanie regulatora 2-położeniowego.
Obiekt: \(\displaystyle{ y'(t) + 3y(t) = u(t)}\)

Z tego, co się orientuje to zadanie polegało na narysowaniu wykresu \(\displaystyle{ y(t)}\), dla dowolnych wartości przełączenia regulatora.

Zadanie 2.

Regulator 3-położeniowy
Narysuj wykres \(\displaystyle{ Q(h)}\), gdzie:
Obiekt: \(\displaystyle{ 2y'(t) + y(t) = u(t)}\)
\(\displaystyle{ Q}\) - dowolne kryterium jakości
\(\displaystyle{ h}\) - wielkość pętli histerezy.

Jest ktoś w stanie rozwiązać, wytłumaczyć lub odesłać do źródeł, które pomogą w rozwiązaniu powyższych zadań? Jeśli brakuje jakichś niezbędnych parametrów to prawdopodobnie trzeba przyjąć dowolną, przykładową wartość. Do rysowania wykresów będę używał Matlaba, lub innego języka dlatego, głównie zależy mi na wytłumaczeniu jak się wykonuje takie zadania od strony matematycznej, aby potem być w stanie przenieść to do programu.

Oba zadania są podobne (w pierwszym przypadku również można rozpatrywać jakąś histerezę).

Na przykładzie pierwszego zadnia wygląda to tak.
1) Wielkością sterowaną w układzie jest wielkość \(\displaystyle{ y(t)}\) (sygnał wyjściowy obiektu).
2) Wielkością wymuszającą/sterującą jest sygnał \(\displaystyle{ u(t)}\).
3) Wielkość wymuszającą oblicza regulator dwustanowy (w ogólności z histerezą), którego równanie wygląda następująco:

\(\displaystyle{ \begin{aligned} u(t_n)&=\begin{cases} B &\text{dla } e(t_n) > b \\ A &\text{dla } e(t_n)<a \\ u(t_{n-1}) &\text{dla } a \le e(t_n) \le b \end{cases} \end{aligned} \\ \\ b-a=h \ge 0 \\ e(t_n)=r(t_n)-y(t_n)}\)

\(\displaystyle{ r(t_n)}\) - wielkość zadana, ang. reference

\(\displaystyle{ e(t_n)}\) - błąd (uchyb) regulacji, ang. error

Powyższe równanie pozwala tylko na obliczanie odpowiedzi regulatora w dyskretnych chwilach czasu \(\displaystyle{ t_n}\). Nie wiem jak taki prosty regulator nieliniowy opisać równaniem ciągłym (raczej się nie da, ale ja dawno w szkole nie byłem), ale z punktu widzenia obliczeń numerycznych realizowanych przez program do symulacji to nie jest problem, bo program ten i tak traktuje ciągłe równanie różniczkowe obiektu jak równanie różnicowe (patrz metody całkowania numerycznego równań różniczkowych zwyczajnych z adaptacyjną zmianą kroku całkowania), które operuje na wartościach wielkości wejściowych/wyjściowych w dyskretnych chwilach czasu \(\displaystyle{ t_n}\).

Co do kryterium jakości regulacji, to można wybrać jakiś parametr odpowiedzi układu regulacji na wymuszenie skokowe itp. Proste?