Matematyka.pl

Może któryś student wydziału elektrycznego zechce sobie poczytać:




[url=http://www.emo.org.tr/ekler/ca800281bbba281_ek.pdf]A power resolution for nonsinusoidal and unbalanced Systems - Part I: Literature Overview and Motivation[/url]

[url=http://nptel.ac.in/courses/108106025/Power%20quality_in_power_distribution_systems.pdf]Dr. Mahesh Kumar: NPTEL Course on Power Quality in Power Distribution Systems. Department of Electrical Engineering Indian Institute of Technology Madras Chennai.[/url]

[url=https://www.a-eberle.de/sites/default/files/media/I008-1-D-1-001-04_Infobrief%20Nr%2008-EN.pdf]Apparent power and reactive power in three-phase networks.[/url]

[url=http://pe.org.pl/articles/2011/1/6.pdf]Three- phase four-wire circuits interpretation by means of different power theories.[/url]

[url=https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/1589279/mod_resource/content/1/IEEE%20Std%201459-2010%20RedLine%20Version.pdf]IEEE Standard Definitions for the Measurement of Electric Power Quantities Under Sinusoidal, Nonsinusoidal, Balanced, or Unbalanced Conditions.[/url]

[url=https://cdn.intechopen.com/pdfs-wm/20700.pdf]Power Quality Measurement Under Non-Sinusoidal Condition.[/url]

[url=https://www.researchgate.net/publication/224185058_The_IEEE_standard_1459_What_and_why]The IEEE standard 1459: What and why?[/url]

[url=https://www.a-eberle.de/sites/default/files/media/I008-1-D-1-001-04_Infobrief%20Nr%2008-EN.pdf]Apparent power and reactive power in three-phase networks.[/url]

[url=https://www.intechopen.com/books/power-quality-monitoring-analysis-and-enhancement]Power Quality Monitoring, Analysis and Enhancement. Edited by Ahmed Zobaa, Mario Mañana Canteli and Ramesh Bansal, ISBN 978-953-307-330-9, 378 pages, Publisher: InTech, Chapters published September 22, 2011 under CC BY-NC-SA 3.0 license[/url]

[url=http://www.enesys.rub.de/mam/enesys/images/lecture_power_theory.pdf]Power Theory: Power Currents, Active Currents, Nonactive Currents. PD Dr.-Ing. Volker Staudt, Ruhr-University of Bochum[/url]

[url=http://www.mfap.com.br/pesquisa/arquivos/20081215141750-T189.PDF]Apparent Power: A Practical Approach to its Resolution. Alexander E. Emanuel, Worcester Polytechnic Institute, Worcester[/url]

Poniżej streszczenie najważniejszych informacji dot. omawianego tematu, które można wydobyć z materiałów wyżej wspomnianych.

Zakładamy, że odbiornik trójfazowy ma cztery zaciski: A, B, C, N.

1) Wybór prądów.
Jeśli chodzi o wybór prądów, to jest tylko jedna możliwość. Wartości chwilowe prądów przewodowych (ang. line currents) oznaczymy sybolami \(\displaystyle{ i_a, i_b, i_c, i_n}\), a wartości skuteczne (ang. RMS values) tych prądów oznaczymy symbolami odpowiednio: \(\displaystyle{ I_a, I_b, I_c, I_n}\). Strzałkowanie prądów wybieramy takie, żeby strzałki były skierowane w kierunku odbiornika (również w przypadku przewodu neutralnego dołączonego do zacisku N odbiornika). Oczywiście: \(\displaystyle{ i_a+i_b+i_c+i_n=0}\)

2) Wybór napięć.

a) sposób pierwszy
Napięcia odbiornika mierzymy względem jednego z zacisków odbiornika:
- względem zacisku neutralnego: \(\displaystyle{ u_{an}, u_{bn}, u_{cn}}\); odpowiednio wartości skuteczne: \(\displaystyle{ U_{an}, U_{bn}, U_{cn}}\); mówimy wtedy o wartościach fazowych napięć;
- albo podając napięcia międzyfazowe: \(\displaystyle{ u_{ab}, u_{bc}, u_{ca}}\); odpowiednio wartości skuteczne: \(\displaystyle{ U_{ab}, U_{bc}, U_{ca}}\)

b) sposób drugi
Napięcia odbiornika mierzymy względem punktu zerowego wirtualnej gwiazdy (ang. virtual star point), złożonej z czterech takich samych rezystancji (kolejne ramiona gwiazdy są podłączone do zacisków kolejno A, B, C, N odbiornika trójfazowego). Wartości chwilowe tych napięć: \(\displaystyle{ u_{a*}, u_{b*}, u_{c*}, u_{n*}}\); odpowiednio wartości skuteczne: \(\displaystyle{ U_{a*}, U_{b*}, U_{c*}, U_{n*}}\). Z PPK wynika, że: \(\displaystyle{ u_{a*}+u_{b*}+u_{c*}+u_{n*}=0}\)

Można również mierzyć napięcia odbiornika wzglęm punktu zerowego wirtualnej gwiazdy, której ramiona mają różne rezystancje. Wartości chwilowe tych napięć: \(\displaystyle{ u_{a0}, u_{b0}, u_{c0}, u_{n0}}\); odpowiednio wartości skuteczne: \(\displaystyle{ U_{a0}, U_{b0}, U_{c0}, U_{n0}}\)

Przy tak określonym opisie odbiornika trójfazowego można podać kolejne definicje mocy pozornych.




1) Arytmetyczna moc pozorna

Jest to najpowszechniej stosowana definicja (chyba wszystkie analizatory sieci stosują właśnie taką definicję):

2) Wzór Buchholza

3) Wzór wg. DIN Norm 40110-2 (w oparciu o teorię FBD - Fryze, Buchholz, Depenbrock)
gdzie: Dla układów trójprzewodowych (ang. three-wire system): \(\displaystyle{ I_{n}=0, \ U_{n*}=0}\):
Na podstawie powyższego można pokazać, że:
gdzie:
\(\displaystyle{ U^{0}, U^{+}, U^{-}}\) - wartości skuteczne składowych symetrycznych napięć fazowych \(\displaystyle{ u_{an}, u_{bn}, u_{cn}}\);
\(\displaystyle{ I^{0}, I^{+}, I^{-}}\) - wartości skuteczne składowych symetrycznych prądów przewodowych \(\displaystyle{ i_{a}, i_{b}, i_{c}}\);


4) Definicja mocy pozornej wg. Mayordomo, Usaola
gdzie: Gdzie:
- napięcia \(\displaystyle{ U_{a0}, U_{b0}, U_{c0}, U_{n0}}\) są mierzone na zaciskach A, B, C, N odbiornika trójfazowego względem punktu zerowego wirtualnej gwiazdy, której ramiona mają rezystancje: \(\displaystyle{ \rho_{a} \cdot r, \rho_{b} \cdot r, \rho_{c} \cdot r, \rho_{n} \cdot r}\);
- \(\displaystyle{ r}\) jest pewną rezystancją, a \(\displaystyle{ \rho_{a}, \rho_{b}, \rho_{c}, \rho_{n},}\) są bezwymiarowymi współczynnikami;
- rezystancje \(\displaystyle{ \rho_{a} \cdot r, \rho_{b} \cdot r, \rho_{c} \cdot r, \rho_{n} \cdot r}\) mają w tym wypadku sens rezystancji wewnętrznych sieci zasilającej kolejno w fazach A, B, C oraz w przewodzie neutralnym N.
gdzie: \(\displaystyle{ u_{m}, m=a, b, c, n}\) - napięcia mierzone na zaciskach A, B, C, N względem wspólnego punktu. Można je mierzyć względem punktu 0 wirtualnej niesymetrycznej gwiazdy, której ramiona mają rezystancje odpowiednio: \(\displaystyle{ \rho_{a} \cdot r, \rho_{b} \cdot r, \rho_{c} \cdot r, \rho_{n} \cdot r}\), wtedy:
To powyższe równianie oczywiście wynika z PPK dla rozważanej niesymetrycznej gwiazdy (prądy strzałkowane w kierunku punktu zerowego).

Warto zwrócić uwagę na dwie rzeczy:
- definicja \(\displaystyle{ S_{\Sigma}}\) jest tylko szczególnym przypadkiem definicji \(\displaystyle{ S_{MU}}\) dla \(\displaystyle{ \rho_{a}=\rho_{b}=\rho_{c}=\rho_{n}=1}\)
- definicja \(\displaystyle{ S_{B}}\) jest tylko szczególnym przypadkiem definicji \(\displaystyle{ S_{MU}}\) dla \(\displaystyle{ \rho_{a}=\rho_{b}=\rho_{c}=1, \ \rho_{n}=0}\)



5) Definicja mocy pozornej wg. IEEE Std 1459-2010

O ile dwie poprzednie definicje posługują się wielkościami kolektywnymi (terminologia zaczerpnięta z teorii FBD - Fryze-Buchholz-Depenbrock): \(\displaystyle{ U_{\Sigma}, I_{\Sigma}, U_{MU}, I_{MU}}\), to norma amerykańska IEEE Std 1459-2010 posługuje się terminami napięcia i prądu efektywnego \(\displaystyle{ U_{e}, I_{e}}\). Wtedy moc pozorna jest obliczana tak jak w symetrycznym zrównoważonym obwodzie trójfazowym:
Prąd efektywny liczony jest bardzo podobnie jak w poprzednich definicjach mocy pozornej. Wychodzi się z równania:
Stąd:
- \(\displaystyle{ r}\) - rezystancja linii zasilającej w fazach A, B, C;
- \(\displaystyle{ \rho \cdot r}\) - rezystancja przewodu neutralnego;
- \(\displaystyle{ \rho}\) - dodatni bezwymiarowy współczynnik; w praktyce \(\displaystyle{ \rho=0,2 \div 4}\); jeśli wartość \(\displaystyle{ \rho}\) nie jest znana, wtedy norma zaleca stosowanie \(\displaystyle{ \rho=1}\);
- \(\displaystyle{ I^{+}, I^{-}, I^{0}}\) - wartości skuteczne składowych symetrycznych prądów przewodowych odbiornika (ang. positive, negative, zero sequence components)
Powyższy warunek zakłada równość strat mocy w obwodzie zasilającym analizowany odbiornik ze stratami mocy w wirtualnym zrówoważonym obwodzie.

Obliczanie napięcia efektywnego opiera się na idei pewnego sprytnie "zmontowanego" odbiornika równoważnego, składającego się z:
- trzech takich samych elementów \(\displaystyle{ R_{\triangle}}\) połączonych w trójkąt;
- trzech takich samych elementów \(\displaystyle{ R_{Y}}\) połączonych w gwiazdę.

Obie "składowe" (gwiazda i trójkąt) odbiornika wirtualnego są podłączone do naszej sieci zasilającej (włącznie z punktem zerowym gwiazdy złożonej z trzech elementów \(\displaystyle{ R_{Y}}\)). Zmierzone napięcia (wartości skuteczne) na naszym odbiorniku wirtualnym:
- napięcia fazowe: \(\displaystyle{ U_{an}, U_{bn}, U_{cn}}\);
- napięcia międzyfazowe: \(\displaystyle{ U_{ab}, U_{bc}, U_{ca}}\).

Teraz chcemy określić napięcie fazowe \(\displaystyle{ U_{e}}\) wirtualnej symetrycznej sieci, która będzie powodowała wydzielanie się takiej samej mocy na naszym wirtualnym odbiorniku co w poprzednim przypadku. Równość mocy w naszym wirtualnym odbiorniku przy zasilaniu z sieci niesymetrycznej i symetrycznej pozwala napisać równanie:
Jeśli przyjąć oznaczenie:
to można napisać:
\(\displaystyle{ U^{+}, U^{-}, U^{0}}\) - wartości skuteczne składowych symetrycznych napięć fazowych.

Norma zaleca stosowanie wartości \(\displaystyle{ \xi=1}\), wtedy:
Dla układów trójprzewodowych norma zaleca stosowanie wzorów:
Przy opisie odbiornika jednofazowego wspomniana norma wykorzystuje fakt, że prąd i napięcie o wartościach skutecznych \(\displaystyle{ I, U}\) dowolnego dwójnika można przedstawić w postaci sumy ortogonalnych składowych: składowej podstawowej o wartościach skutecznych \(\displaystyle{ U_{1}, I_{1}}\) i składowej odkształcenia o wartościach skutecznych \(\displaystyle{ U_{H}, I_{H}}\). Zatem można napisać, że:
Moc pozorna takiego dwójnika:
Stąd, na podstawie wyżej przedstawionej dekompozycji prądów i napięć:
Kolejne iloczyny powstałe przy wymnożeniu przez siebie obu wyrażeń zostały odpowiednio nazwane:
- moc pozorna podstawowa (ang. fundamental apparent power) wyrażanej w VA:
- moc odkształcenia prądu (ang. current distortion power) wyrażanej w var:
- moc odkształcenia napięcia (ang. voltage distortion power) wyrażanej w var:
- moc pozorna składowych odkształcenia (ang. harmonic apparent power) wyrażanej w VA:
Zatem można zapisać:
Samą wielkość \(\displaystyle{ S_{N}}\):
norma określa jako moc pozorną odkształcenia (ang. nonfundamental apparent power) i wyraża ją w VA.

Norma także moc czynną odbiornika dekomponuje na moc czynną podstawową \(\displaystyle{ P_{1}}\) (ang. fundamental active power) oraz na moc czynną składowej odkształcenia \(\displaystyle{ P_{H}}\) (ang. harmonic active power, nonfundamental active power):
gdzie: Również moc pozorna podstawowa \(\displaystyle{ S_{1}}\) jest rozkładana geometrycznie na moc czynną podstawową \(\displaystyle{ P_{1}}\) oraz na moc bierną składowej podstawowej (ang. fundamental reactive power):
Zatem kompletne równanie mocy będzie miało postać:
Naturalnie bierze się to stąd, że składowa podstawowa zawsze może być rozłożona na składowe ortogonalne: składową czynną (współfazową z podstawową harmoniczną napięcia) oraz składową bierną (przesuniętą w fazie o \(\displaystyle{ 90^{\circ}}\) względem podstawowej harmonicznej napięcia).

Norma wprowadza dwie ważna wielkości: współczynniki odkształcenia prądu i napięcia (ang. total harmonic distortion):
Norma wprowadza dwa współczynniki mocy (ang. power factor):
Pierwszy współczynnik \(\displaystyle{ PF_{1}}\) (fundamental power factor) w literaturze bywa nazywany również współczynnikiem mocy przesunięcia DPF (ang. displacement power factor albo shift power factor). Warto mieć świadomość występowania dwóch różnych współczynników mocy.

Na podstawie przytoczonych definicji można pokazać, że:
W większości praktycznych przypadków odkształcenie napięcia jest niewielkie, a odkształcenie prądu duże, i wtedy można skorzystać z uproszczonej zależności:
Jeśli wykorzystać pojęcia prądu i napięcia efektywnego w układach trójfazowych, to powyżej przedstawione definicje dla odbiornika jednofazowego mogą być uogólnione dla odbiornika trójfazowego. Zatem:
\(\displaystyle{ S_{e1}}\) - ang. fundamental effective apparent power
\(\displaystyle{ D_{eI}}\) - ang. current effective distortion power
\(\displaystyle{ D_{eU}}\) - ang. voltage effective distortion power
\(\displaystyle{ S_{eH}}\) - ang. harmonic effective apparent power
\(\displaystyle{ S_{eN}}\) - ang. nonfundamental effective apparent power:
\(\displaystyle{ S_{U1}}\) - ang. fundamental harmonic unbalanced apparent power:
\(\displaystyle{ S_{1}^{+}}\) - ang. fundamental harmonic positive apparent power:
Jako, że składową symetryczną zgodną podstawowej harmonicznej prądu można rozłożyć na składową czynną i bierną, to można napisać:
gdzie:
Ostatecznie równanie mocy odbiornika trójfazowego możemy napisać w postaci:
\(\displaystyle{ PF_{e}}\) - ang. effective power factor
\(\displaystyle{ PF_{e1}}\) - ang. fundamental effective power factor
\(\displaystyle{ PF_{1}^{+}}\) - ang. fundamental positive sequence power factor:
Porównanie przytoczonych definicji:

[url=https://www.researchgate.net/profile/Murat_Balci2/publication/249994301_Apparent_power_definitions_A_comparison_study/links/555e3e1208ae86c06b5f37c0/Apparent-power-definitions-A-comparison-study.pdf]Apparent Power Definitions: A Comparison Study. Murat Erhan Balci and Alexander Eigeles Emanuel. International Review of Electrical Engineering (I.R.E.E.), Vol. 6, n. x[/url]

Skoro mowa o niezrównoważeniu obwodu trójfazowego, to kilka przydatnych zależności/definicji służących do bezpośredniej oceny tego zjawiska, przy wykorzystaniu składowych symetrycznych.

Załóżmy zatem składowe symetryczne \(\displaystyle{ k}\)-tej harmonicznej napięć fazowych oraz \(\displaystyle{ k}\)-te harmoniczne napięć międzyfazowych:
Teraz wykorzystamy kilka zależności:
Liczymy kolejno:
Na podstawie wyżej przedstawionego można pokazać, że:
Liczymy dalej:
Po dodaniu stronami ostatnich trzech równań otrzymujemy:
Można pokazać, że:
Zatem:
Zatem ostatecznie: