Forum matematyczne: miliony postów, setki tysięcy tematów, dziesiątki tysięcy użytkowników - pomożemy rozwiązać każde zadanie z matematyki https://matematyka.pl/
[Układy trójfazowe] Zastosowanie wektorów przestrzennych.
Stały czynnik \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\) w definicji macierzy \(\displaystyle{ \textbf{S}}\) bywa zastępowany innymi wartościami. Jednak najczęściej w technice napędowej spotkamy się z taką wartością właśnie.
Trzy zmienne \(\displaystyle{ x_{A}, x_{B}, x_{C}}\) (prądy, napięcia) w układzie trójfazowym, transformujemy za pomocą macierzy \(\displaystyle{ \textbf{S}}\) do zmiennych \(\displaystyle{ x^{\underline{0}}, x^{I}, x^{II}}\):
Zmienna \(\displaystyle{ x^{\underline{0}}}\) przyjmuje wartości rzeczywiste, natomiast zmienne \(\displaystyle{ x^{I}, x^{II}}\) ogólnie przyjmują wartości zespolone. Poza tym łatwo pokazać, że \(\displaystyle{ x^{I}= \left( x^{II}\right) ^{*}}\), stąd mamy:
\(\displaystyle{ x^{I}=x_{\alpha}+jx_{\beta}}\)
\(\displaystyle{ x^{II}=x_{\alpha}-jx_{\beta}}\)
Zatem analiza wielkości trójfazowych sprowadza się do rozpatrywania składowej zerowej \(\displaystyle{ x^{\underline{0}}}\) oraz zmiennej zespolonej \(\displaystyle{ x^{I}}\):
Zazwyczaj w układach trójfazowych nie ma składowej zerowej, tzn. \(\displaystyle{ x_{A}+x_{B}+x_{C}=0}\), stąd zmienne \(\displaystyle{ x_{A}, x_{B}, x_{C}}\) reprezentowane są jednoznacznie przez zmienną \(\displaystyle{ x^{I}}\). Przykładem są prądy przewodowe w układzie trójfazowym bez przewodu neutralnego.
Naturalnie kojarzymy zmienną zespoloną \(\displaystyle{ x^{I}=x_{\alpha}+jx_{\beta}}\) z wektorem na płaszczyźnie, zaczepionym w początku układu współrzędnych. W związku z tym mówi się o reprezentacji trójfazowego układu napięć lub prądów w postaci tzw. wektora przestrzennego.
Dla zmiennych \(\displaystyle{ x_{A}, x_{B}, x_{C}}\) w układzie trójfazowym, takich, że \(\displaystyle{ x_{A}+x_{B}+x_{C}=0}\), wektor przestrzenny je reprezentujący oznaczamy symbolem \(\displaystyle{ \underline{X}}\), czyli:
Tutaj należy wspomnieć o takich określeniach jak: modulacja wektorowa, falownik wektorowy, sterowanie wektorowe, z którymi w praktyce się można spotkać.
Prędkość wirowania wektora przestrzennego.
Przykładowo, reprezentacja wektorowa symetrycznego trójfazowego układu napięć:
Jeśli rozpatrywać wektor przestrzenny w wirującym układzie współrzędnych, obróconym o kąt \(\displaystyle{ \theta}\) względem nieruchomego układu współrzędnych, to będzie miał on postać:
W dalszej części tego opracowania zaprezentowane będą przykłady zastosowania wektorów przestrzennych. Ciąg dalszy nastąpi.
[Układy trójfazowe] Zastosowanie wektorów przestrzennych.
: 24 kwie 2017, o 23:42
autor: mdd
Pole magnetyczne wirujące i wektor przestrzenny prądu.
W trójfazowym silniku elektrycznym o strukturze cylindrycznej mamy następujące podstawowe elementy składowe: stojan i wirnik, pomiędzy którymi jest szczelina powietrzna umożliwiająca ruch wirnika względem stojana. W żłobkach stojana i wirnika są ułożone zezwoje uzwojeń fazowych silnika, a są one ułożone w dość specyficzny sposób. Przyczyną tego jest to, że prąd danej fazy przepływając przez to uzwojenie ma za zadanie wywołać w szczelinie powietrznej pole magnetyczne o rozkładzie sinusoidalnym.
Ukryta treść:
Tak w ogóle to polecam:
Zakładamy, że każda z faz \(\displaystyle{ A, B, C}\) silnika elektrycznego o strukturze cylindrycznej wytwarza w szczelinie powietrznej pole magnetyczne o sinusoidalnym rozkładzie (zmienna kątowa \(\displaystyle{ \gamma}\)):
gdzie: \(\displaystyle{ k}\) - stała taka sama dla każdej z faz \(\displaystyle{ A, B, C}\), \(\displaystyle{ p}\) - liczba par biegunów uzwojenia; \(\displaystyle{ p=1,2,3,...}\)
Korzystając ze związku: \(\displaystyle{ \cos \gamma=\frac{1}{2}\left(e^{j\gamma}+e^{-j\gamma}\right)}\) można powyższe zapisać inaczej:
Otrzymaliśmy równanie fali sinusoidalnej. To tyle na temat zasady powstawania pola wirującego.
Ciąg dalszy nastąpi.
-- 1 maja 2017, o 12:09 --
UWAGA!
Od tej pory wektory przestrzenne będą oznaczane symbolem \(\displaystyle{ \underline{\textbf{X}}}\). Symbol \(\displaystyle{ \underline{X}}\) (stosowany wcześniej) zarezerwowany będzie na oznaczenie zespolonych wartości skutecznych.
Połączenie dwóch trójfazowych źródeł napięcia.
Teraz przeanalizujemy układ połączonych dwóch trójfazowych źródeł napięcia, które przekazują sobie energię. Źródeł takich oczywiście nie można połączyć bezpośrednio. Można to zrobić włączając trójfazowy dławik między te źródła. Przyjmiemy najprostszy model dławika jako trzy liniowe szeregowe dwójniki \(\displaystyle{ RL (\times 3)}\). Układ taki pokazany jest na poniższym rysunku.
Taki układ jest uniwersalny, bo może on być modelem (w pewnym sensie) np. układu: sieć zasilająca - maszyna elektryczna (silnik lub generator), czy też układ sieć zasilająca-przemiennik częstotliwości AFE (ang. active front end) - który w obwodzie wejściowym, zamiast zwykłego prostownika diodowo-tyrystorowego, ma inwerter tranzystorowy, pracujący jako prostownik PWM (w praktyce takie ustrojstwa są coraz częściej używane; jest to tzw. technologia AFE, układ taki umożliwia dwukierunkowy przepływ energii, przy poborze z sieci niemal sinusoidalnego prądu).
Linki do ciekawych stron:
Teoria:
Sensorless Control Strategies for Three - Phase PWM Rectifiers http://icg.isep.pw.edu.pl/pdf/phd/mariusz_malinowski.pdf
Voltage Oriented Control of Three - Phase Boost PWM Converters http://publications.lib.chalmers.se/records/fulltext/173977/173977.pdf
POLOWO ZORIENTOWANE UKŁADY NAPĘDOWE Z SILNIKIEM INDUKCYJNYM, FALOWNIKIEM NAPIĘCIA I PRZEKSZTAŁTNIKIEM SIECIOWYM AC/DC O DWUKIERUNKOWYM PRZEPŁYWIE ENERGII http://www.old.imnipe.pwr.wroc.pl/Wydawnictwa/Prace_IMNIPE_nr56_2004/ELECTRICAL%20DRIVES/Pdf/17_Michal%20KNAPCZYK%20Krzysztof%20PIENKOWSKI_1.pdf
Praktyka:
Active Front End unit (AFE) user manual http://www.vacon.com/ImageVaultFiles/id_2783/cf_2/Vacon-NX-AFE-User-Manual-DPD00906B-UK.PDF
Vacon NX Active Front End Application Manual http://www.vacon.com/ImageVaultFiles/id_3284/cf_2/Vacon-NXP-AFE-ARFIFF02-Application-Manual-DPD00905.PDF?635179592322000000
Równania powyżej przedstawionego obwodu trójfazowego:
Analogicznie do jednej z metod sterowania prostownika PWM, sterowanie VOC (voltage oriented control) przepływem energii między oboma źródłami trójfazowymi polega na takim wymuszaniu wektora prądu \(\displaystyle{ \underline{\textbf{I}}_{dq}}\) ("za pomocą" wektora \(\displaystyle{ \underline{\textbf{U}}_{dq}}\)), tak żeby kąt pomiędzy wektorami \(\displaystyle{ \underline{\textbf{E}}_{dq}}\) i \(\displaystyle{ \underline{\textbf{I}}_{dq}}\) (a tym samym pomiędzy \(\displaystyle{ \underline{\textbf{E}}}\) i \(\displaystyle{ \underline{\textbf{I}}}\)) miał określoną wartość - najczęściej zero.
Można np. przyjąć układ współrzędnych, tak żeby: \(\displaystyle{ U_{q}=0}\), wtedy \(\displaystyle{ U_{d}=U}\) i układ równań (3.10) przyjmie postać:
Wtedy na przebiegi prądów składowych \(\displaystyle{ I_{d}(t), I_{q}(t)}\) mamy wpływ za pomocą \(\displaystyle{ \omega(t)}\) i \(\displaystyle{ U(t)}\).
Połączenie dwóch trójfazowych źródeł napięcia sinusoidalnego - stan ustalony.
W takim stanie \(\displaystyle{ \frac{dI_{d}}{dt}=0 \wedge \frac{dI_{q}}{dt}=0}\) i wszystkie wektory wirują z taką samą prędkością \(\displaystyle{ \omega_{o}}\). Wtedy układ równań (3.10) przyjmie postać:
Dodatkowo wybieramy taki układ współrzędnych, w którym: \(\displaystyle{ E_{q}=0 \wedge E_{d}=E}\) i zakładamy, że \(\displaystyle{ R<<\omega_{o}L}\), inaczej mówiąc przyjmujemy rezystancję \(\displaystyle{ R=0}\). Wtedy wyrażenia (3.13) i (3.14) przyjmują postać:
Na podstawie powyższych dwóch zależności widać, że aby składowa bierna prądu \(\displaystyle{ I_{q}}\) była równa zeru, to \(\displaystyle{ U_{d}=E}\). Jeśli zaś chcemy by z punktu widzenia źródła \(\displaystyle{ e}\) układ miał charakter pojemnościowy (\(\displaystyle{ I_{q}>0}\); wtedy możemy kompensować moc bierną indukcyjną), to \(\displaystyle{ U_{d}>E}\), a więc ogólnie: \(\displaystyle{ U=\sqrt{{U_{d}}^{2}+{U_{q}}^{2}}>E}\)
Wzajemne położenie dwóch wektorów przestrzennych.
Rozważmy dwa wektory: \(\displaystyle{ \underline{\textbf{X}}_{1}=X_{1}e^{j\psi_{1}}=X_{1\alpha}+jX_{1\beta}, \qquad \underline{\textbf{X}}_{2}=X_{2}e^{j\psi_{2}}=X_{2\alpha}+jX_{2\beta}}\).
Poniżej w tabelach zachowanie funkcji "sinus" i "cosinus" dla argumentów z przedziału \(\displaystyle{ 0 <\psi \le 2\pi}\). Widać, że dla każdego podprzedziału mamy niepowtarzalne zachowanie obu funkcji, pozwalające jednoznacznie zidentyfikować wartość \(\displaystyle{ \psi}\).
Jak widać, wektor przestrzenny dla harmonicznych rzędu \(\displaystyle{ 1,4,7,10,\ldots}\) wiruje w przeciwną stronę niż wektor przestrzenny dla harmonicznych rzędu \(\displaystyle{ 2,5,8,11, \ldots}\). Powyższe rozważanie jest szczególnie istotne jeśli chodzi o wpływ poszczególnych harmonicznych prądu na magnetyczne pole wirujące w maszynie elektrycznej oraz na wytwarzany moment elektromagnetyczny.
W trójprzewodowym symetrycznym układzie trójfazowym mogą wystąpić harmoniczne prądów o rzędach:
1) \(\displaystyle{ (3k-2); k=1,2,3, \ \ldots}\) - składowe zgodne;
2) \(\displaystyle{ (3k-1); k=1,2,3, \ \ldots}\) - składowe przeciwne.
Harmoniczne o rzędach \(\displaystyle{ 3k, \ k=1,2,3,\dots}\) w symetrycznym układzie trójprzewodowym w ogóle nie występują, ze względu na warunek \(\displaystyle{ i_{A}+i_{B}+i_{C}=0}\).
Jeśli wziąć pod uwagę to, że w praktyce przebiegi są antysymetryczne, to można wykluczyć również harmoniczne parzyste. W związku z tym rzędy wyższych harmonicznych prądów w układzie trójprzewodowym: \(\displaystyle{ (6k \pm 1); \ k=1,2,3,\ldots}\).
Jeśli rozważyć wyrażenie \(\displaystyle{ \left( 1 \pm 6k\right) ; \ k=1,2,3,\ldots}\), to wartość bezwzględna tego wyrażenia będzie rzędem harmonicznej, zaś znak tego wyrażenia będzie informował nas o tym, czy harmoniczna rzędu \(\displaystyle{ \left| 1 \pm 6k\right|; \ k=1,2,3, \ldots}\) jest składową zgodną, czy składową przeciwną.
Równania silnika PMSM.
PMSM - ang. permanent magnet synchronous motor, czyli silnik synchroniczny z magnesami trwałymi.
Silniki te mają wiele zalet, między innymi: duża sprawność, małe rozmiary w stosunku do silników indukcyjnych klatkowych. Wadą jest wysoka cena (ze względu na koszt wytwarzania magnesów trwałych) oraz to, że silniki PMSM mają mały moment rozruchowy (np. w porównaniu do indukcyjnych silników klatkowych), w związku z tym konieczne jest stosowanie rozruchu częstotliwościowego (oczywiście na rynku spotykane są również silniki PMSM z klatkami rozruchowymi, dzięki którym silniki uzyskują duży moment rozruchowy, wtedy rozruch silnika odbywa się tak jak w zwykłym silniku klatkowym, a po osiągnięciu przez silnik synchronizmu, klatki rozruchowe nie mają wpływu na pracę silnika - przynajmniej w stanie ustalonym). Ze względu na rozpowszechnienie przemienników częstotliwości, które pierwotnie były dedykowane głównie do współpracy z silnikami klatkowymi, a które obecnie coraz częściej mają możliwość współpracy z silnikami synchronicznymi (PMSM lub silnikami reluktancyjnymi), silniki PMSM są coraz częściej stosowane (raczej nie prędko będą tak popularne jak zwykłe "klatkowce"). Silniki PMSM są stosowane zazwyczaj tam, gdzie wymagane jest precyzyjne sterowanie prędkości i położenia. Silniki PMSM z enkoderami absolutnymi współpracujące z przemiennikami częstotliwości (serwonapędy), mają możliwość bardzo precyzyjnego sterowania momentem elektromagnetycznym, przede wszystkim w zakresie bardzo małych prędkości (tutaj silnik PMSM ma sporą przewagę nad indukcyjnym silnikiem klatkowym). Należy sobie uświadomić, że silnik PMSM jest cały czas namagnesowany i gotowy do wytworzenia momentu (w odróżnieniu od silnika indukcyjnego, którego najpierw trzeba namagnesować). Pole magnetyczne wirnika silnika PMSM jest nieruchome względem wirnika, natomiast w silniku indukcyjnym występuje zawsze pewien ruch względny pomiędzy polem wirnika, a samym wirnikiem.
\(\displaystyle{ \gamma}\) - kąt określający położenie wirnika względem stojana; \(\displaystyle{ p}\) - liczba par biegunów uzwojenia stojana; \(\displaystyle{ R}\) - rezystancja uzwojenia stojana; \(\displaystyle{ \Psi_{o}}\) - amplituda strumienia skojarzonego z uzwojeniem stojana i wytworzonego przez magnesy trwałe umieszczone w wirniku silnika; \(\displaystyle{ L_{\sigma s}}\) - indukcyjność rozproszenia uzwojenia stojana.
Jak widać indukcyjność uzwojeń stojana ma dwie składowe: stałą oraz zmienną o amplitudzie \(\displaystyle{ L}\) (zależną od wzajemnego usytuowania wirnika względem stojana, opisanego poprzez kąt \(\displaystyle{ \gamma}\)).
Teraz jeszcze macierz prądów \(\displaystyle{ \textbf{i}}\) i napięć \(\displaystyle{ \textbf{u}}\) wyrażamy przez macierz składowych \(\displaystyle{ \underline{0}, I, II}\):
W związku z tym, że składowe \(\displaystyle{ I}\) i \(\displaystyle{ II}\) są wzajemnie sprzężone oraz tym, że składowa zerowa prądów "żyje własnym życiem" (wcześniejsze rozważania pokazały, że nie ma ona wpływu na pole magnetyczne w silniku - przynajmniej w naszym prostym modelu), w dalszym ciągu rozważań bierzemy pod uwagę tylko równanie dla składowej \(\displaystyle{ I}\). Oznaczając składową \(\displaystyle{ I}\) symbolem wektora przestrzennego otrzymujemy:
Szczególnie elegancką postać przyjmują równania silnika PMSM przy użyciu wektorów napięcia i prądu widzianych z punktu widzenia wirującego układu współrzędnych:
Po rozbiciu wektorów prądu i napięcia na część rzeczywistą i urojoną w (5.8): \(\displaystyle{ \underline{\textbf{U}}_{dq}=U_{d}+jU_{q}; \ \underline{\textbf{I}}_{dq}=I_{d}+jI_{q}}\) otrzymujemy układ równań:
Pozostaje jeszcze znaleźć wyrażenie na moment elektromagnetyczny \(\displaystyle{ T_{e}}\) silnika. W tym celu wykorzystujemy bilans energetyczny. W literaturze można spotkać wyprowadzenie wzoru na moment silnika przy wykorzystaniu energii czy koenergii pola magnetycznego. Tutaj pokażę drogę "na skróty". Moc chwilowa trójfazowego źródła napięcia zasilającego silnik na podstawie (1.14) i (1.19), oraz przy wykorzystaniu pierwszych dwóch równań z układu (5.10):
Wyrażenie zaznaczone na niebiesko od razu kojarzymy ze wzorem z mechaniki \(\displaystyle{ P=\omega \cdot T}\), stąd wyrażenie na moment elektromagnetyczny silnika:
oraz oś \(\displaystyle{ k}\), której położenie opiszemy wektorem jednostkowym: \(\displaystyle{ \underline{\textbf{k}}=e^{j\theta}}\). Wektor przestrzenny \(\displaystyle{ \underline{\textbf{X}}}\) rozkładamy w następujący sposób:
\(\displaystyle{ X_{k}\underline{\textbf{k}}}\) - to rzut wektora \(\displaystyle{ \underline{\textbf{X}}}\) na oś wyznaczoną przez wektor jednostkowy \(\displaystyle{ \underline{\textbf{k}}}\).
Na podstawie (6.2) i definicji wektora jednostkowego \(\displaystyle{ \underline{\textbf{k}}=e^{j\theta}}\), można pokazać, że:
Wróćmy do wektora przestrzennego jako reprezentacji trzech wielkości fazowych: \(\displaystyle{ \underline{\textbf{X}}=\frac{2}{3}\left(x_{A}+a \cdot x_{B}+a^{2} \cdot x_{C}\right)}\). Póki co nie czynimy żadnego dodatkowego założenia odnośnie wielkości \(\displaystyle{ x_{A}, x_{B}, x_{C}}\). Czyli w ogólności:
to tzw. składowa zerowa. Tutaj widzimy, że sam wektor przestrzenny \(\displaystyle{ \underline{\textbf{X}}}\) nie określa jednoznacznie trzech wielkości fazowych \(\displaystyle{ x_{A}, x_{B}, x_{C}}\). Potrzebna jest jeszcze informacja o składowej zerowej zdefiniowanej jako średnia arytmetyczna wielkości fazowych.
W literaturze mówi się o tzw. składowych \(\displaystyle{ \alpha, \beta, 0}\) (albo o składowych \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\)) (https://en.wikipedia.org/wiki/Alpha%E2%80%93beta_transformation). Na podstawie (6.8) otrzymuje się równania:
Widać więc bardzo ciekawy i prosty związek między wektorem przestrzennym będącym reprezentacją trzech wielkości fazowych bez składowej zerowej, a rzutami tego wektora na trzy osie wyznaczone przez wektory \(\displaystyle{ \underline{\textbf{k}}_{1}=1, \underline{\textbf{k}}_{2}=a^{2},\underline{\textbf{k}}_{3}=a}\).
W stanie ustalonym wektory prądu \(\displaystyle{ \underline{\textbf{I}}}\) i napięcia \(\displaystyle{ \underline{\textbf{U}}}\) wirują synchronicznie z prędkością kątową \(\displaystyle{ \omega_{o}=p\omega}\) (patrz wzór (2.6)).
Stąd na podstawie (5.9) stwierdzamy, że:
Jak widać nawet przy pominięciu rezystancji uzwojenia silnika PMSM obliczenia stanu ustalonego pracy nie są łatwe. Najpierw na podstawie (7.16) wyznaczamy kąt mocy \(\displaystyle{ \vartheta}\). Potem na podstawie (7.14) i (7.15) obliczamy składowe prądu \(\displaystyle{ I_{d}, I_{q}}\). Następnie obliczamy wartość skuteczną prądu:
i wyrażając macierze prądów \(\displaystyle{ \textbf{i}_{s}, \textbf{i}_{r}}\) i napięć \(\displaystyle{ \textbf{u}_{s}, \textbf{u}_{r}}\) przez macierz składowych \(\displaystyle{ \underline{0}, I, II}\) (patrz wzór (1.4)):
Najczęściej pomija się równania dla składowej zerowej (z wielu powodów), zaś składowa \(\displaystyle{ II}\) nie wnosi żadnych dodatkowych informacji, bo jest sprzężona do składowej \(\displaystyle{ I}\). Zatem równania silnika indukcyjnego (czy ogólniej: maszyny indukcyjnej, pierścieniowej i klatkowej) są postaci:
Składową \(\displaystyle{ i_{s}^{I}}\) prądów stojana silnika oznaczymy symbolem wektora przestrzennego \(\displaystyle{ \underline{\textbf{I}}_{s}^{s}}\), przy czym górny indeks \(\displaystyle{ s}\) oznacza to, że wektor ten jest określony w nieruchomym względem stojana układzie współrzędnych.
Podobnie czynimy ze składową \(\displaystyle{ u_{s}^{I}}\) napięć fazowych stojana, tzn. oznaczymy ją symbolem \(\displaystyle{ \underline{\textbf{U}}_{s}^{s}}\).
Składową \(\displaystyle{ i_{r}^{I}}\) prądów wirnika silnika oznaczymy symbolem wektora przestrzennego \(\displaystyle{ \underline{\textbf{I}}_{r}^{r}}\), przy czym górny indeks \(\displaystyle{ r}\) oznacza to, że wektor ten jest określony w nieruchomym względem wirnika układzie współrzędnych.
Analogicznie składową \(\displaystyle{ u_{r}^{I}}\) napięć fazowych wirnika oznaczymy symbolem \(\displaystyle{ \underline{\textbf{U}}_{r}^{r}}\).
Teraz określimy jeden układ współrzędnych, obrócony o kąt \(\displaystyle{ \theta}\) względem układu współrzędnych nieruchomego względem stojana, i wyrazimy wszystkie wektory: \(\displaystyle{ \underline{\textbf{I}}_{s}^{s}, \underline{\textbf{U}}_{s}^{s}, \underline{\textbf{I}}_{r}^{r}, \underline{\textbf{U}}_{r}^{r}}\) w wyżej określonym wspólnym układzie współrzędnych:
Jak widać, model we współrzędnych naturalnych (fazowych) o ośmiu parametrach \(\displaystyle{ R_{s}, R_{r}, L_{\sigma s}, L_{\sigma r}, M_{s}, M_{r}, M_{sr}, p}\) został zastąpiony modelem wektorowym o parametrach: \(\displaystyle{ R_{s}, R_{r}, L_{s}, L_{r}, L_{m}, p}\)
Teraz na podstawie bilansu energetycznego wyznaczymy wyrażenie na moment elektromagnetyczny silnika indukcyjnego. Na podstawie wzoru (1.14), (1.19), (8.27), (8.28) wyznaczamy moc chwilową \(\displaystyle{ P}\) dwóch źródeł napięcia zasilających uzwojenia stojana i wirnika:
Polecam lekturę: SPOSOBY STEROWANIA MOMENTEM W NOWOCZESNYM NAPĘDZIE ELEKTRYCZNYM http://pcc.imir.agh.edu.pl/poz15/poz15.pdf
a także książkę z serii wydawniczej Komitetu Elektrotechniki PAN: Postępy napędu elektrycznego i energoelektroniki. Tom 48: Teresa Orłowska-Kowalska: Bezczujnikowe układy napędowe z silnikami indukcyjnymi. Oficyna wydawnicza Politechniki Wrocławskiej.
oraz: Bimal K. Bose: Modern power electronics and AC drives - Prentice Hall PTR (2002) - książka dostępna w internecie.
Sterowanie FOC klatkowego silnika indukcyjnego.
FOC - ang. Field Oriented Control (sterowanie polowo zorientowane).
Przyjęcie układu odniesienia, takiego że: \(\displaystyle{ \Im \mathbf{\underline{\Psi}}_{r}^{\theta} =0}\), a więc można napisać: \(\displaystyle{ \mathbf{\underline{\Psi}}_{r}^{\theta}=\Psi_{r}}\), powoduje, że równania (8.28) i (8.29) przyjmują postać:
Wektory prądów \(\displaystyle{ \underline{\textbf{I}}_{r}^{\theta}}\) i \(\displaystyle{ \underline{\textbf{I}}_{s}^{\theta}}\) rozkładamy na części rzeczywiste i urojone, stąd otrzymujemy cztery równania:
Widać powyżej, że przy \(\displaystyle{ I_{sx}=const.}\) mamy \(\displaystyle{ \Psi_{r}=L_{m}I_{sx}=const.}\). Wtedy to moment silnika jest wprost proporcjonalny do składowej \(\displaystyle{ I_{sy}}\). Idea FOC polega więc na tym, by wyodrębnić z wektora prądu stojana dwie składowe: składową "strumieniową" oraz składową "momentową". Żeby to uczynić należy estymować wektor strumienia wirnika - to jest główna trudność. Niestety nie można tego robić wprost na podstawie opisanego tutaj modelu - choćby dlatego, że "efektywne" rezystancje uzwojeń stojana i wirnika zależą od wielu czynników (np. od temperatury). Trzeba stosować modele adaptacyjne. Stabilizując strumień wirnika za pomocą składowej "strumieniowej" wektora prądu stojana, możemy łatwo wpływać na moment silnika za pomocą składowej "momentowej" wektora prądu stojana.
Jeśli zaś chodzi o strukturę układu regulacji, to wartość zadana składowej "momentowej" wektora prądu stojana wyznaczana jest przez regulator na podstawie uchybu prędkości silnika (która jest mierzona przez enkoder zasprzęglony z wałem silnika), natomiast wartość zadana składowej "strumieniowej" wektora prądu stojana wyznaczana jest przez inny regulator na podstawie uchybu strumienia wirnika. Obliczone wartości zadane obu składowych wektora prądu stojana służą do wyznaczania stanów kluczy tranzystorowych w inwerterze zasilającym silnik.
Sterowanie DTC klatkowego silnika indukcyjnego.
DTC - ang. Direct Torque Control (bezpośrednie sterowanie momentem).
Przyjęcie układu odniesienia, takiego że: \(\displaystyle{ \Im \mathbf{\underline{\Psi}}_{s}^{\theta} =0}\), a więc można napisać: \(\displaystyle{ \mathbf{\underline{\Psi}}_{s}^{\theta}=\Psi_{s}}\), powoduje, że równanie (8.27) przyjmuje postać:
Równanie to zapisujemy za pomocą składowych wektorów napięcia i prądu \(\displaystyle{ \underline{\textbf{U}}_{s}^{\theta}=U_{sx}+jU_{sy}; \underline{\textbf{I}}_{s}^{\theta}=I_{sx}+jI_{sy}}\), przez co otrzymujemy dwa równania:
Z zależności (8.42) i (8.43) wnioskujemy, że za pomocą składowych \(\displaystyle{ U_{sx}, U_{sy}}\) wektora napięcia \(\displaystyle{ \underline{\textbf{U}}_{s}}\) można bezpośrednio wpływać na wartość strumienia stojana oraz możemy kontrolować położenie wektora strumienia stojana. Prędkość wirowania wektora strumienia stojana możemy zmieniać skokowo. Również szybkość zmian modułu strumienia stojana można zmieniać skokowo. Pytanie: jaką mamy korzyść z możliwości kontroli położenia wektora strumienia stojana? W tym miejscu należy zwrócić uwagę na wzór (8.37):
Widzimy, że zmieniając kąt pomiędzy wektorami strumieni stojana i wirnika możemy wpływać na moment elektromagnetyczny silnika, ale pod warunkiem, że wektor \(\displaystyle{ \mathbf{\underline{\Psi}}_{r}^{\theta}}\) będzie bardziej "leniwy" niż wektor \(\displaystyle{ \mathbf{\underline{\Psi}}_{s}^{\theta}}\), wtedy kątem pomiędzy tymi wektorami będzie można sterować (zadając odpowiedni wektor napięcia). Okazuje się, że warunek ten jest spełniony. Z czego to wynika? Proszę zerknąć na równania obwodu wirnika, które zostały wyprowadzone przy okazji wyjaśnienia metody FOC:
Co prawda został tam wykorzystany inny układ odniesienia (składowe wektora prądu stojana nie są w obu przypadkach tożsame!), ale można w obu równaniach zauważyć, że strumień wirnika jest wymuszany prądem stojana, zaś prądy stojana nie mogą zmieniać się skokowo. Musi być zachowana ciągłość składowych wektora prądu stojana. Widać więc, że prędkość wirowania \(\displaystyle{ \omega_{\Psi r}}\) nie może zmieniać się tak szybko jak prędkość \(\displaystyle{ \omega_{\Psi_{s}}}\), którą można zmieniać skokowo. Jeśli chodzi o szybkość zmian modułu wektora strumienia wirnika \(\displaystyle{ \Psi_{r}}\), to również i tutaj mamy zdecydowanie wolniejsze zmiany niż w przypadku strumienia \(\displaystyle{ \Psi_{s}}\) - bo mamy powyżej równanie różniczkowe pierwszego rzędu ze względu na \(\displaystyle{ \Psi_{r}}\), w którym wymuszeniem jest prąd stojana ("dopiero" prąd stojana, a nie napięcie stojana - stąd ta bezwładność wektora strumienia wirnika). Wektor strumienia stojana reaguje bezpośrednio na napięcie stojana, zaś wektor strumienia wirnika reaguje "dopiero" (!) na prąd stojana, a nie bezpośrednio na napięcie stojana. Dzięki temu DTC działa. Podobnie jak w przypadku FOC potrzebny jest dobry model adaptacyjny silnika, który pozwoli na estymację wektora strumienia stojana oraz wartości momentu silnika. Podczas regulacji momentu w metodzie DTC staramy się stabilizować strumień stojana po to, aby silnik był przez cały czas namagnesowany w takim samym stopniu (podobnie w metodzie FOC stabilizowany jest strumień wirnika).
Przyjrzyjmy się zachowaniu wektorów strumieni nieco dokładniej. Przypomnijmy wcześniej uzyskany wynik. Prędkość \(\displaystyle{ \omega_{x}}\) wirowania wektora przestrzennego \(\displaystyle{ \underline{\textbf{X}}}\):
Na podstawie równań (8.27), (8.28) modelu silnika oraz na podstawie (8.46), po przyjęciu nieruchomego względem stojana układu odniesienia, tj. dla \(\displaystyle{ \omega_{\theta}=0}\), otrzymujemy:
Na podstawie wzoru (8.44) prędkości wirowania \(\displaystyle{ \omega_{\Psi_{s}}, \omega_{\Psi_{r}}}\) wektorów strumienia stojana i wirnika \(\displaystyle{ \mathbf{\underline{\Psi}}_{s}^{\theta},\mathbf{\underline{\Psi}}_{r}^{\theta}}\)::
Na podstawie wzoru (8.45) szybkość zmian modułów wektorów strumienia stojana i wirnika \(\displaystyle{ \mathbf{\underline{\Psi}}_{s}^{\theta},\mathbf{\underline{\Psi}}_{r}^{\theta}}\)::
Ostatecznie prędkości wirowania wektorów strumieni stojana i wirnika, oraz szybkość zmian modułów tych wektorów (na podstawie (8.50 \(\displaystyle{ \div}\) 8.55)):
Wnioski:
1) Tylko \(\displaystyle{ \omega_{\Psi_{s}}}\) i \(\displaystyle{ \frac{d \Psi_{s}}{dt}}\) mogą zmieniać się skokowo, o ile można zmieniać skokowo wektor napięcia stojana \(\displaystyle{ \underline{\textbf{U}}_{s}^{\theta}}\).
2) Jeśli będziemy stabilizować strumień \(\displaystyle{ \Psi_{s}}\), to również stabilizowany będzie strumień \(\displaystyle{ \Psi_{r}}\) (wynika to z równania (8.59)).
Klasyczny schemat zastępczy silnika indukcyjnego.
Analiza dotycząca indukcyjności uzwojeń silnika: \(\displaystyle{ M_{s}, M_{r},L_{\sigma s}, L_{\sigma r}, M_{sr}}\) prowadzi do wniosku, że nie wszystkie wyżej wymienione indukcyjności są niezależne. Dochodzi się do związków następujących:
Korzystając z ogólnej zależności: \(\displaystyle{ \cos \gamma=\frac{1}{2}\left(e^{j\gamma}+e^{-j\gamma}\right)}\), (10.9) można zapisać jeszcze inaczej:
\(\displaystyle{ x_{A}(t)=X_{Ao}+\frac{\sqrt{2}}{2} \sum_{n=1}^{ \infty} \left[ \underline{X}_{An} e^{j n \omega_{o}t}+\underline{X}_{An}^{*} e^{-j n \omega_{o}t}\right]\\
x_{B}(t)=X_{Bo}+\frac{\sqrt{2}}{2} \sum_{n=1}^{ \infty} \left[ \underline{X}_{Bn} e^{j n \omega_{o}t}+\underline{X}_{Bn}^{*} e^{-j n \omega_{o}t}\right] \qquad \leftarrow (10.10)\\
x_{C}(t)=X_{Co}+\frac{\sqrt{2}}{2} \sum_{n=1}^{ \infty} \left[ \underline{X}_{Cn} e^{j n \omega_{o}t}+\underline{X}_{Cn}^{*} e^{-j n \omega_{o}t}\right]}\)
Wtedy wektor przestrzenny \(\displaystyle{ \underline{\textbf{X}}}\) oraz składowa zerowa \(\displaystyle{ X_{0}}\) reprezentujące zmienne fazowe \(\displaystyle{ x_{A}, x_{B}, x_{C}}\):
Wracamy na chwilę do zależności (10.11), (10.12), (10.13). Widać w nich ślad pojęcia tzw. składowych symetrycznych, które występują w teorii trójfazowych obwodów elektrycznych. Można te zależności przepisać następująco:
Dotychczas przedstawiona została Transformacja Edyty Clarke. Przedstawiona tutaj "konstrukcja" tej transformacji opiera się na idei wektora przestrzennego z 1959 roku. Pierwotnie transformacja Edyty Clarke została sformułowana znacznie wcześniej niż idea wektora przestrzennego.
Napiszmy równania (6.10) transformacji Edyty Clarke w postaci macierzowej:
Transformację Parka (https://en.wikipedia.org/wiki/Direct-quadrature-zero_transformation) można skonstruować w następujący sposób. Wyrażamy współrzędne wektora przestrzennego \(\displaystyle{ \underline{\textbf{X}}_{\alpha\beta}}\) w wirującym układzie współrzędnych:
Oznaczmy macierz transformacji Edyty Clarke przez \(\displaystyle{ T_{C}}\), a macierz transformacji w powyższym przekształceniu (11.6) przez \(\displaystyle{ T_{P}}\):
Park, Inverse Park and Clarke, Inverse Clarke Transformations MSS Software Implementation. User Guide.https://www.microsemi.com/document-portal/doc_view/132799-park-inverse-park-and-clarke-inverse-clarke-transformations-mss-software-implementation-user-guide
Clarke and Park Transforms on the TMS320C2xx.http://www.ti.com/lit/an/bpra048/bpra048.pdf
Koniecznie do przeczytania: Clarke’s and Park’s Transformationshttp://read.pudn.com/downloads169/sourcecode/embed/779893/Part%204%20Clark&Park.pdf
R. H. Park, "Two-reaction theory of synchronous machines - generalized method of analysis - Part 1", AIEE Trans., vol. 48, pp. 716-730, July 1929.https://uwaterloo.ca/power-energy-systems-group/sites/ca.power-energy-systems-group/files/uploads/files/two-reaction.pdf