Statyka - tarcie posuwiste

Konstrukcje inżynierskie: kratownice, belki, ramy i inne.
kwietechicz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 20 sty 2021, o 21:38
Płeć: Kobieta
wiek: 30

Statyka - tarcie posuwiste

Post autor: kwietechicz »

Ćwicząc zadania z tarciem natknęłam się na takie, którego nie jestem pewna. Chodzi mi głównie o wektory sił tarcia przy klinie.
Polecenie:
Dane: \(\displaystyle{ a}\), \(\displaystyle{ b}\), \(\displaystyle{ r}\), \(\displaystyle{ M}\), \(\displaystyle{ Q}\), \(\displaystyle{ \mu}\), \(\displaystyle{ \alpha }\)
Szukane: \(\displaystyle{ P _{min}}\), aby zahamować krążek
- na górze rysunek z polecenia a poniżej rozrysowane przeze mnie siły

otrzymałam wynik \(\displaystyle{ P _{min}= \frac{Ma}{rb}\left( 1+ \frac{\sin \alpha +\mu\cos \alpha }{\mu(\cos \alpha -\mu\sin \alpha) }\right) +\mu Q }\)

Bardzo proszę osobę bardziej doświadczoną o sprawdzenie zwrotów wektorów, a jeśli ktoś ma więcej czasu to również o sprawdzenie wyniku.
Awatar użytkownika
siwymech
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2428
Rejestracja: 17 kwie 2012, o 14:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowy Targ
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 608 razy

Re: Statyka - tarcie posuwiste

Post autor: siwymech »

Proponuję w ramach ćwiczenia prostą , aczkolwiek żmudną drogę- założyć ruch równi w prawo i porównać wartości siły \(\displaystyle{ P}\)
kwietechicz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 20 sty 2021, o 21:38
Płeć: Kobieta
wiek: 30

Re: Statyka - tarcie posuwiste

Post autor: kwietechicz »

No dobra to przy ruchu równi w prawo, wektory tarcia są takie

i otrzymałam wynik \(\displaystyle{ P _{min}= \frac{Ma}{rb}\left( \frac{\sin \alpha -\mu\cos \alpha }{\mu(\cos \alpha +\mu\sin \alpha) }-1\right) -\mu Q }\) czyli mniejszy, tyle że co z tego wynika?

Ruch równi w prawo nie zahamuje krążka, więc wydaje mi się, że nie spełnia warunków zadania.

Ja się na początku zamotałam z tym zadaniem, bo wyobraziłam sobie, że pręt ma jakiś ciężar i punkt C pójdzie w dół pod wpływem tego ciężaru i przesunie równię w prawo, ale:
1) w danych nie ma nic o ciężarze pręta, więc chyba trzeba założyć, że jest nieważki
2) punkt C chyba nie mógłby się przesunąć w dół, dlatego, że tor jego ruchu to okrąg i tor ten nachodziłby na klin

Tak to sobie wyobrażam, ale nie mam odpowiedzi do tego zadania i chciałabym dostać jakieś potwierdzenie mojego rozumowania.
kwietechicz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 20 sty 2021, o 21:38
Płeć: Kobieta
wiek: 30

Re: Statyka - tarcie posuwiste

Post autor: kwietechicz »

Przemyślałam sobie jeszcze to zadanie i właściwie przy ruchu klina w prawo, nieważki pręt nie oddziaływałby żadną siłą nacisku ani na klin ani na krążek, a jak nie ma nacisku to nie ma tarcia i wektory sił wyglądałyby jakoś tak: ale to zupełnie bez sensu, tarcie wyszłoby ujemne, a krążek nie zahamował.

Jeszcze ta moja uwaga jest błędna:
2) punkt C chyba nie mógłby się przesunąć w dół, dlatego, że tor jego ruchu to okrąg i tor ten nachodziłby na klin
Wydaje mi się, że punkt C mógłby się jednak przesunąć w dół. Zakładając, że występuje siła nacisku pomiędzy prętem a klinem (np. pręt ma jakiś ciężar) składowa pozioma siły nacisku może przesunąć klin w prawo, a wtedy punkt C pójdzie w dół.

Czy nie ma tu nikogo, kto mógłby potwierdzić to moje rozwiązanie z pierwszego posta (ewentualnie wskazać błąd)? Panie siwymech , jaki cel miało założenie ruchu równi w prawo i porównanie wartości siły P? Czy mógłby Pan to rozwinąć?
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Re: Statyka - tarcie posuwiste

Post autor: kruszewski »

Podpowiedź szkicem
Załączniki
Bez tytułu 1 klin.png
kwietechicz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 20 sty 2021, o 21:38
Płeć: Kobieta
wiek: 30

Re: Statyka - tarcie posuwiste

Post autor: kwietechicz »

Przeanalizowałam podpowiedź i wektory sił tarcia przy klinie rozumiem i zgadza się to z moim rozwiązaniem z pierwszego posta.
Jednak nie rozumiem czym są wektory Nc i niebieski wektor z punktu C' do C
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Re: Statyka - tarcie posuwiste

Post autor: kruszewski »

\(\displaystyle{ N_c }\) - normalnej do belki w \(\displaystyle{ C}\), takiej, że

\(\displaystyle{ N_B \cdot a = N_C \cdot b}\)

Wektor \(\displaystyle{ \vec{C'C}}\) to składowy wektora siły \(\displaystyle{ \vec{N_C}}\) prostpadły do powierzchni ukośnej klina równi, siły sprawiającej tarcie T końca \(\displaystyle{ C }\) belki \(\displaystyle{ AC}\) o tę ukośną powierzchnię klina.
kwietechicz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 20 sty 2021, o 21:38
Płeć: Kobieta
wiek: 30

Re: Statyka - tarcie posuwiste

Post autor: kwietechicz »

Ok to w takim razie na podstawie rysunku pana Kruszewskiego wychodzi:

\(\displaystyle{ M=Tr \wedge T=\mu N _{B} \Leftrightarrow M= \mu N _{B}r \Leftrightarrow N _{B} = \frac{M}{\mu r} }\)
\(\displaystyle{ N _{B} \cdot a=N _{C} \cdot b \Rightarrow N _{C}=N _{B} \cdot \frac{a}{b} = \frac{Ma}{\mu rb} }\)
\(\displaystyle{ T'=N _{C}\sin \alpha \wedge T''=T'\cos \alpha \Leftrightarrow T''=N _{C}\sin \alpha\cos \alpha }\)
\(\displaystyle{ T'''=(N _{C}+Q)\mu}\)
\(\displaystyle{ P=T _{C} =T''+T'''=N _{C}\sin \alpha\cos \alpha+(N _{C}+Q)\mu=N _{C}\sin \alpha\cos \alpha+N _{C}\mu+Q\mu = N _{C}(\sin \alpha\cos \alpha+\mu)+Q\mu}\)
\(\displaystyle{ P=\frac{Ma}{\mu rb}(\sin \alpha\cos \alpha+\mu)+Q\mu=\frac{Ma}{ rb} \left( \frac{\sin \alpha\cos \alpha}{\mu} +1\right) +Q\mu}\)

Porównując to z moim rozwiązaniem z pierwszego posta wychodziłoby że \(\displaystyle{ \sin \alpha\cos \alpha= \frac{\sin \alpha+\mu\cos \alpha}{\cos \alpha-\mu\sin \alpha}}\)
Sprawdziłam że nie jest to równe tożsamościowo, więc podejrzewam, że jest jeszcze jakiś związek geometryczny, którego nie użyłam, albo do któregoś z rozwiązań wkradł się błąd. Ma ktoś jakiś pomysł? Jeśli będzie potrzeba mogę przepisać jeszcze całe rozwiązanie sposobem z pierwszego posta.
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Re: Statyka - tarcie posuwiste

Post autor: kruszewski »

Heh! Nie myślałem, że rysunek zasugeruje,
że wektor \(\displaystyle{ \vec{N_C} = \vec{T'} + \vec{N_C} \cos \alpha }\)
A prawda jest taka, że:
\(\displaystyle{ T' = \mu \cdot N_C \cos \alpha }\)
\(\displaystyle{ T''= T' \cos \alpha = ( \mu \cdot N_C \cos \alpha ) \cdot \cos \alpha = \mu \cdot N_C \cos^2 \alpha}\)
kwietechicz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 20 sty 2021, o 21:38
Płeć: Kobieta
wiek: 30

Re: Statyka - tarcie posuwiste

Post autor: kwietechicz »

Rzeczywiście ja tego rysunku (a dokładnie wektorów w punkcie C) jakoś nie czaję.

No dobra to po poprawkach:

\(\displaystyle{ M=Tr \wedge T=\mu N _{B} \Leftrightarrow M= \mu N _{B}r \Leftrightarrow N _{B} = \frac{M}{\mu r} }\)
\(\displaystyle{ N _{B} \cdot a=N _{C} \cdot b \Rightarrow N _{C}=N _{B} \cdot \frac{a}{b} = \frac{Ma}{\mu rb} }\)
\(\displaystyle{ \vec{C'C}= N _{C}\cos \alpha }\)
\(\displaystyle{ T'=\mu\vec{C'C}=\mu N _{C}\cos \alpha }\)
\(\displaystyle{ T''=T'\cos \alpha =\mu N _{C}\cos ^{2}\alpha }\)
\(\displaystyle{ T'''=(N _{C}+Q)\mu}\)
\(\displaystyle{ P=T _{C} =T''+T'''=\mu N _{C}\cos ^{2}\alpha+(N _{C}+Q)\mu=\mu N _{C}\cos ^{2}\alpha+N _{C}\mu+Q\mu =\mu N _{C}(cos ^{2}\alpha+1)+Q\mu}\)
\(\displaystyle{ P=\frac{Ma}{ rb} \left( \cos ^{2}\alpha +1\right) +Q\mu}\)

I teraz porównując to z moim rozwiązaniem z pierwszego posta wychodziłoby że \(\displaystyle{ \cos ^{2}\alpha= \frac{\sin \alpha+\mu\cos \alpha}{\mu(\cos \alpha-\mu\sin \alpha)}}\)
To także nie jest równe tożsamościowo, poza tym otrzymane w tym poście rozwiązanie jakoś mi się nie bardzo podoba, bo współczynnik \(\displaystyle{ \mu}\) występuje tylko w jednym miejscu, jak dla mnie coś za bardzo się uprościło.
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Re: Statyka - tarcie posuwiste

Post autor: kruszewski »

Na pionowy klin poruszający się w prowadnicach bez tarcia działa pionowo siła\(\displaystyle{ N_c }\)o dwu składowych stycznej i normalnej do powierzchni równi.
Składowa styczna do równi daje składową poziomą, która wypycha równię spod pionowego klina, zatem działa przeciwnie do \(\displaystyle{ P}\).
Składowa normalna wywołuje tarcie na powierzchni ukośnej równi utrudniając ruch równi względem pionowego klina.
Równia działa na płaszczyznę na której leży siłą swojego ciężaru \(\displaystyle{ Q}\) i nacisku, pionowego klina na równię pionową siłą \(\displaystyle{ N_c}\). Obie te siły powodują tarcie równi o podłoże siłą tarcia \(\displaystyle{ T = \mu (Q+N_c)}\) przeciwdziałającą ruchowi równi pod pionowy klin.
Mam wrażenie, że umknęła nam składowa horyzontalna \(\displaystyle{ S}\), siła z jaką klin wysuwa równię.
Załączniki
Bez tytułu 1  klin na równi.png
kwietechicz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 20 sty 2021, o 21:38
Płeć: Kobieta
wiek: 30

Re: Statyka - tarcie posuwiste

Post autor: kwietechicz »

Na razie zostawiam to zadanie. Wydaje mi się że moje rozwiazanie jest poprawne. To na czym mi najbardziej zależało czyli zwroty wektorow tarcia przy klinie potwierdził Pan w swojej podpowiedzi szkicem. Jak będę miala wiecej czasu być może przeanalizuję to Pana rozwiazanie.
Dziękuję za zaangażowanie.
Awatar użytkownika
siwymech
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2428
Rejestracja: 17 kwie 2012, o 14:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Nowy Targ
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 608 razy

Re: Statyka - tarcie posuwiste

Post autor: siwymech »

Kod: Zaznacz cały

https://images90.fotosik.pl/469/6948310ef2869973med.jpg


1.Rozkładamy układ złożony na trzy podukłady - bębna(PI), dźwigni(PII) i klina(PIII).
2. Kierunek ruchu bębna zadany przez moment obrotowy \(\displaystyle{ M}\) na wale bębna M. Zakładamy kierunek ruchu klina i końca dźwigni w pukcie C-patrz rysunek.
3.Uwalniamy każdy z podukładów z więzów zakładając zwroty wprowadzonych reakcji. Dla każdego podukładu wypisujemy warunki równowagi sił, z których znajdziemy poszukiwane wartości siły hamującej \(\displaystyle{ P}\) oraz reakcji w podporach.
............................................
I. Warunki równowagi sił dla bębna- Podukład I
\(\displaystyle{ \Sigma F _{x}=0 \Rightarrow R _{Bx}-T _{D}=0 }\), (1),
\(\displaystyle{ \Sigma F _{y}=0 \Rightarrow R _{By}-N _{D}=0 }\), (2),
\(\displaystyle{ \Sigma M _{B}=0 \Rightarrow -M+T _{D} \cdot r=0 }\), (3),
\(\displaystyle{ T _{D}=\mu \cdot N _{D} }\), (4)
..................................................
II. Warunki równowagi sił dla dźwigni-Podukład II
\(\displaystyle{ \Sigma F _{x}=0 \Rightarrow R _{Ax}+T _{D}- T _{C} \cdot \cos \alpha -N _{C} \cdot \cos \alpha =0 }\), (5),
\(\displaystyle{ \Sigma F _{y}=0 \Rightarrow R _{Ay}+N _{D}+N _{C} \cdot \cos \alpha -T _{C} \cdot \sin \alpha =0 }\), (6),
\(\displaystyle{ \Sigma M _{A}=0 \Rightarrow -N _{D} \cdot a+N _{C} \cdot \cos \alpha \cdot b+T _{C} \cdot \sin \alpha \cdot b =0 }\), (7),
\(\displaystyle{ T _{C}=\mu \cdot N _{C} }\), (8)
............................................
II. Warunki równowagi sił dla klina. Podukład III
\(\displaystyle{ \Sigma F _{x}=0 \Rightarrow T _{k}-P+ T _{C} \cdot \cos \alpha +N _{C} \cdot \sin \alpha =0 }\), (9),
\(\displaystyle{ \Sigma F _{y}=0 \Rightarrow -Q+N _{k} -N _{C} \cdot \cos \alpha +T _{C} \cdot \sin \alpha =0 }\), (10),
\(\displaystyle{ T _{k}=\mu \cdot N _{k} }\), (11)
__________________________________________________________________________________
Z równania (9) znajdujemy siłę hamujacą \(\displaystyle{ P}\)
\(\displaystyle{ P=\mu \cdot N _{k}+N _{C}(\mu \cdot cos \alpha +\sin \alpha ) }\), (12)
Nieznane reakcje normalne obliczamy z równań
\(\displaystyle{ N _{D} = \frac{M}{r \cdot \mu} }\), (13)- z równania (3)
\(\displaystyle{ N _{C} = \frac{M \cdot a}{\mu \cdot r \cdot b(\cos \alpha +\mu\sin \alpha } }\), (14)- z równania (7)
\(\displaystyle{ N _{k}= \frac{M \cdot a(\cos \alpha -\mu \cdot \sin \alpha )}{\mu \cdot b \cdot r(\cos \alpha +\mu \cdot \sin \alpha )} +Q }\), (15) , z równania (10)
________________________________________________________________________________
P.S.
Moim zdaniem, Pani sposób uwolnienia ciał od więzów prawidłowe.
Zwroty wektorów sił biernych zakładamy, w przypadku otrzymania wartości ujemnych zmieniamy zwroty na przeciwne.
kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6882
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 50 razy
Pomógł: 1112 razy

Re: Statyka - tarcie posuwiste

Post autor: kruszewski »

Świetne!
ODPOWIEDZ