Matematyka.pl

Witam,

natknąłem się ostatnio na kilka ciekawych układów prętowych. Przedstawiam je na załączonym rysunku:



Zastanawiam się czy wszystkie te układy prętowe / ramy można policzyć analitycznie a jeśli tak to jak to zrobić. Konstrukcje a) i d) to płaskie ramy z zastrzałami, natomiast b) i c) to ramy przestrzenne. Pierwsza jest poddana działaniu obciążenia ciągłego, do drugiej zaś przyłożone zostały siły oddalone o pewien dystans \(\displaystyle{ r}\) i przenoszone na pręt poprzez sztywne cięgna. Jak należy podejść do obliczeń takich układów ? Domyślam się, że przynajmniej część z nich jest statycznie niewyznaczalna. Czy należy je rozbić na pojedyncze belki ? Jest jakaś literatura, w której można znaleźć podobne przykłady ?

Z góry dziękuję za pomoc

Jeżeli temat jest dalej aktualny, to:
1. "Wszystko" co można rozwiązać graficznie, można rozwiązać analitycznie. Stare to i znane twierdzenie.
2. Kolejno:
Zad. a. Sprowadź do głównych, momentu i siły.

Zad. b. Do przekrojów końcowych belek utwierdzonych (do przekrojów z przegubami) dadaj połowy obciążenia ciągłego na poprzecznicy i rozwiązuj jak jak belki utwierdzone obciążone obciążeniem ciągłym na całej rozpiętości z dodatkową siłą równą połowie obciążenie poprzecznicy. Zauważ, że te belki nie są skręcane.

Zad. c. jeżeli zapomniałeś zaznaczyć przegub w połąceniu belek a on tam jest, to wtedy belka z obciążeniem zewnętrznym jest skręcana i zginana. Moment skręcający równy sumie trzech momentów od trzech sił jest momentem składowym w przekroju utwierdzenia "od skręcania belki" , zaś sama momentów dwu sił względem przekroju utwierdzenia składowym momentem "od zginania" . Jedna z tych sił nie wywołuję zginania, jej moment względem utwierdzenia belki jest zerowy. Reakcja w utwierdzeniu nieobciążonej belki równa jest sile w przegubie obliczonej od strony belki z obciążeniem, zaś moment utwierdzenia momentowi tej siły względem przekroju utwierdzenia.

Zad. 4. Jeżeli rysunek jest kompletny, to zadnie jest jednokrotnie hiprestatyczne. Brakuje warunków do ułożenia jednego dodatkowego równania równowagi.

Temat nadal aktualny, dziękuję za odpowiedź. Z tym, że w tych przykładach akurat nie ma przegubów tylko sztywne połączenia wszystkich prętów. Jak to zmieni podejście do obliczeń ? A i D to modele żurawi, B to karnisz, zaś C to mocowanie siedzenia w pojeździe komunikacji miejskiej.

Jest Pan tego pewien? Jeżeli tak, to są to przypadki statycznie niewyznaczalne.
Np. zad. b. bez założenia absolutnej sztywności prętów nie można uniknąć zmiany ich długości przy zachowaniu niezmienionej odległości i położenia utwierdzeń. Zatem nie można zaniedbać składowych reakcji wzdłuż osi prętów na co pozwala przegubowe połączenie. Ale wtedy musi to wynikać z treści zadania lub kontekstu w którym zadanie jest przytoczone.
Jeżeli tak, to:
Zad.a, sprowadzone do głównych momentu i siły jednoznacznie określa reakcje w podporze. Podobnie zad. d.
W zadaniu b reakcje w utwierdzeniach są sobie równe i równe połowie obciążenia rozłożenego wzdłuż prętów.
W zad.c reakcja w utwierdzeniu nieobciążonego pręta wynika z równania momentów względem osi podłużnej drugiego ramienia. Zaś rezkcja w drugim utwierdzeniu jest różnicą obciążenia zewnętrznego (sumy tych trzech sił) - reakcji w pierwszym utwierdzeniu.

Tak, te konstrukcje na pewno należy traktować jako sztywno połączone pręty. I tak właśnie myślałem, że wszystkie przykłady będą statycznie niewyznaczalne. Czy jest jakaś literatura z podobnymi przykładami ? Do tej pory miałem do czynienia z prostszymi układami prętowymi - pręty rozciągane/ściskane, belki, ramy, kratownice. Te zadania podchodzą chyba pod ramy (płaskie i przestrzenne), ale i tego nie jestem pewien. Do ich obliczenia pewnie mógłbym wykorzystać metodę sił lub metodę przemieszczeń (pomijam tu metodę elementów skończonych, bo od tego mam programy a liczenie dużych macierzy na kartce to nic przyjemnego). Są jakieś inne sposoby wyznaczenia sił wewnętrznych i ugięcia w takich układach ?

Pewnie Pan wie, że bez znajomości własności tworzywa i geometrii belki/pręta nie ma rozwiązania. A w tych zadaniach są one gdzieś podane?
Jak ma Pan treść akapitu do którego te obrazki przynależą, proszę go tu wstawić.

To są modele, które sam opracowałem na podstawie przykładów konstrukcji, z którymi ostatnio się spotkałem dyskutując z kolegami. Do przykładu b mam wszystkie dane (wymiary, obciążenie i materiał), więc może najlepiej na nim się teraz skupić:

- schemat układu z wymiarami prętów:

- przekrój poprzeczny rurowy o średnicy zewnętrznej \(\displaystyle{ 50 \ mm}\) i wewnętrznej \(\displaystyle{ 30 \ mm}\)

- obciążenie ciągłe działające w płaszczyźnie prostopadłej do układu prętów: \(\displaystyle{ 113.49 \ \frac{N}{m}}\)

- materiał - stal: \(\displaystyle{ E=210 \ GPa}\), \(\displaystyle{ \nu=0.3}\)

Mam rozwiązanie MES, ale chciałbym je sprawdzić ręcznymi obliczeniami.

A może Pan pokazać model obliczeniowy i wyniki wraz z wykresami?

Dodano po 11 godzinach 24 minutach 53 sekundach:
Popatrzmy na zadanie b
Zakładamy, milcząco, że długość zgiętych prętów jest na tyle mało różniąca się od ich swobodnej , że może być pominięta siła osiowa.

Symetria pozwala na obliczenie pionowych składowych reakcji w utwierdzniach.
\(\displaystyle{ R_{Av} = R_{Bv} = \frac{q}{2} (2l_1 + l_2) }\) .... (1)
Momenty w utwierdzeniu podobnie, są sobie równe, zatem:
\(\displaystyle{ M_{Au} = M_{Bu} = \frac{1}{2} ql_2 \cdot l_1 + \frac{1}{2} q l_2^2}\) .... (2)

W utwierdzeniu oprócz momentu utwierdzenia od zginania wystąpi moment skręcający \(\displaystyle{ M_{As} = M_{Bs}}\) .... (3)

Moment ten jest wywołany skręceniem pręta \(\displaystyle{ l_1}\) , równym obrotowi przekroju krańcowego pręta \(\displaystyle{ l_2}\) zginanego obciążeniem \(\displaystyle{ q}\) i podpartego na końcach prętami \(\displaystyle{ l_1 \ i \ l_2}\) .
Kąt ten można obliczyć całkując równanie linii ugiętego pręta \(\displaystyle{ l_2}\).
Ze znajomości kąta skręcenie pręta \(\displaystyle{ l_1}\) można obliczyć moment go skręcający. Z symertrii ukłau wnioskujemy, że pręt drugi doznaje takich samych odkształceń i obciążeń.

Prośby o pokazanie wyników z obliczeń programem nie wycofuję!

Dodano po 38 minutach 40 sekundach:
Rysunek poglądowy:

Dziękuję bardzo za rozpisanie tego. Siła osiowa w programie rzeczywiście wychodzi praktycznie zerowa.

Wstawiam uzyskane wykresy:
- siły tnącej:
- momentu gnącego:

- momentu skręcającego:

Dla jakich wartości \(\displaystyle{ q, \ l_1, \ l_2, \ l_ 3}\) są takie wyniki?

Uzyskane wartości są dla układu prętowego o wymiarach zaznaczonych na tym rysunku:

Czyli (zakładając, że dobrze rozumiem Pana oznaczenia): \(\displaystyle{ l_{1}=2600 \ mm}\), \(\displaystyle{ l_{2}=4200 \ mm}\), \(\displaystyle{ l_{3}=2000 \ mm}\)

Natomiast obciążenie ciągłe ma wartość: \(\displaystyle{ q=113.49 \ \frac{N}{m}}\)

Dodano po 9 minutach 5 sekundach:
Widzę, że przez pomyłkę dałem dwa razy link do obrazka z wykresem siły tnącej. Tu jest moment gnący:

Dla takich jak na poprzednim rysunku? \(\displaystyle{ 2,6 m, \ 4, 2 m, \ 2 m \ i \ 113,49 \ N/m}\) ?

Dlaczego reakcje w utwierdzeniach mają różne znaki (przeciwne zwroty) ?

Tak, dane takie same jak przyjąłem na początku.

Szczerze mówiąc nie wiem, ale policzyłem to jeszcze w dwóch innych programach i też tak wyszło, że siła tnąca ma na obu końcach przeciwne znaki.

Wyniki z programów można podsumować tak:
- pręt 1 (\(\displaystyle{ 2.6 \ m}\)):

maks. siła tnąca: \(\displaystyle{ 507 \ N}\)
maks. moment gnący: \(\displaystyle{ 764 \ Nm}\)
maks. moment skręcający: \(\displaystyle{ 19 \ Nm}\)

- pręt 2 (\(\displaystyle{ 4.2 \ m}\)):

maks. siła tnąca: \(\displaystyle{ 264 \ N}\)
maks. moment gnący: \(\displaystyle{ 177 \ Nm}\)
maks. moment skręcający: \(\displaystyle{ 172 \ Nm}\)

- pręt 3 (\(\displaystyle{ 2 \ m}\)):

maks. siła tnąca: \(\displaystyle{ 491 \ N}\)
maks. moment gnący: \(\displaystyle{ 583 \ Nm}\)
maks. moment skręcający: \(\displaystyle{ 127 \ Nm}\)

Pozostaje tylko kwestia jak dojść do tych wyników za pomocą ręcznych obliczeń.

Zauważmy, że pręt "\(\displaystyle{ 2}\)" \(\displaystyle{ ( l_2 = 4.2 \ m)}\) jest symetrycznie podparty i obciążony. Zatem kąty obrotów przekrojów skrajnych są równej miary.
Kąty te są równe kątom skręcenia prętów\(\displaystyle{ "1" \ "3"}\) w ich przekrojach skrajnych.
Jeążeli kąt skręcenia dla pręta o przekroju kołowym opisany jest wzorem:

\(\displaystyle{ \varphi = \frac{M_s l}{GJ_o}}\) , to


\(\displaystyle{ \frac{M_{s_1} l_1}{GJ_o} = \frac{M_{s_3} l_3}{GJ_o} }\)

i wtedy: \(\displaystyle{ \frac{M_{s_1}}{ M_{s_3} } = \frac{l_3}{l_1} }\)

co w tym zadaniu daje stosunek \(\displaystyle{ \frac{M_{s_1}}{ M_{s_3} } = \frac{1,3}{1} }\),
zaś z podanych danych liczbowych rozwiązania "progamem" wynika \(\displaystyle{ \frac{M_{s_1}}{ M_{s_3} } = \frac{ 127}{19}}\)
co budzi obawę o poprawność rozwiązania.

Dodano po 58 minutach :
Dla rozwiązania ramy rozdzielmy ją myślowo na trzy proste pręty końcami oddziałujące na siebie wzajemnie odpowiednimi siłami i momentami.
Zauważmy , że siły będące akcjami jednego pręta są reakcjami drugiego zatem mają przeciwne zwroty (i znaki) i to, że moment zginający w narożu od jednego pręta jest momentem skręcającym drugi pręt w tym narożu.
Pręt \(\displaystyle{ "2"}\) działa na pierwszy (\(\displaystyle{ "1"}\)) i na trzeci (\(\displaystyle{ "3"}\)) siłami \(\displaystyle{ S_c = S_B = \frac{1}{2} ql_2}\)
Pęt \(\displaystyle{ "1" }\) jest więc obciążony równomiernie obciążeniem ciągłym \(\displaystyle{ q }\) i siłą skupioną \(\displaystyle{ S_B}\) w nieutwierdzonym końcu, a reakcja \(\displaystyle{ R_A}\) w utwierdzeniu \(\displaystyle{ A }\) jest równa sumie obu obciążeń.
\(\displaystyle{ R_A = 2,6 q + \frac{1}{2} q \cdot 4,2 \ N}\)

\(\displaystyle{ R_A = (2,6 + 2,1) \cdot 113,49 = 533,4 \ N }\)

Moment gnący zginający ten pręt opisuje równanie:
\(\displaystyle{ M _g = -S_B ( 2,6 - x) - \frac{1}{2} q ( l_1 -x)^2 }\)
\(\displaystyle{ M_(max) = - \left( 2,6 S_B + \frac{2,6^2}{2} q \right) }\)
Znak minus bo pręt wyginany jet wypukłością górze.
Podobnie rozwiązujemy podporę \(\displaystyle{ "D"}\), pręt \(\displaystyle{ "3"}\) ale też i pręt \(\displaystyle{ "2" }\)
Momenty skręcające pręty utwierdzone obliczamy z warunku równości kątom obrotu skrajnych przekrojów pręta "\(\displaystyle{ 2}\)"