kratownica płaska

[ranov]

witam

mam do rozwiązania dość skomplikowaną kratownicę płaską na projekt z mechaniki.
Prezentuje się tak (dane są standardowo siły P i wymiary kratownicy):

Kod: Zaznacz cały

http://wstaw.org/w/M0M/

Z sum momentów wyliczyłem reakcje, skreśliłem pręty zerowe (mam nadzieję, że dobrze), mam wątpliwość co do siły Ha (czy dobrze poprowadziłem- do podpory nieprzesuwnej?). Z tego co policzyłem kratownica jest statycznie wyznaczalna.

Kod: Zaznacz cały

http://wstaw.org/h/aba5e4ca1d6/

Siłę przy pierwszym węźle od lewej bez problemu policzyłem, ale co dalej- z każdej strony jest za dużo niewiadomych, a to głównie przez kąty nachylenia prętów.

Ma ktoś pomysł jak to ugryźć? Może zacząć od środka, wiedząc, że symetryczne do siebie pręty mają tam taką samą siłę (choć osobiście nie wiem czy tak jest)...

[kruszewski]

Siłę \(\displaystyle{ P _{3}}\) przesuń wzdłuż jej prostej działania do węzła gdzie przyłożona jest sila \(\displaystyle{ P _{1}}\) i zacznij rozwiązywać kratownice od tego węzła. Będą tu dwie niewiadome i dwa równania równowagi. Jest więc rozwiązywalne jednoznacznie.
Następnym węzłem który można rozwiązać jest węzeł w podporze \(\displaystyle{ A}\) . Kolejnym węzłem będzie węzeł nad podporą \(\displaystyle{ A}\)
I td. Kratownica jest "łatwa",. Proszą pamiętać o kolejności dodawania sił ( geometrycznie) -zasadzie obchodzenia węzła.
Jaden węzeł mozna obchodzić przeciwzegarowo inny, bo łatwiej dokładać siły przeciwzegarowo. I o tym, że kolejność rozwiązywania węzłów wynika z zasady : " ten węzeł można rozwiązać, w którym niewiadome są siły w dwu prętach w nim się zbiegających. Kolejność "obchodzenia" tu nie jest warunkiem czy konieczną zasadą.
W.Kr.

[ranov]

w tym problem, że te 2 nieznane siły są pod kątem do osi x i y, więc w sumach sił działających po osi występują po 2 nieznane siły i po jednej znanej.
W międzyczasie wykreśliłem jeszcze kilka prętów zerowych:

Próbowałem jeszcze od strony węzła B, ale węzeł nad nim ma podobną sytuację- 2 nieznane siły na 2 osiach...

Zapomniałem dodać, że projekt należy rozwiązać metodą równoważnia węzłów, Ritterem dodatkowo też, ale później...

[kruszewski]

1. Reakcja w A nie jest pionowa. A jest podporą stałą i przenosi nie tylko przypadającą na nia część sił pionowych ale i siłę poziomą \(\displaystyle{ P _{1}}\)
Zatem w tej podporze \(\displaystyle{ R _{A}}\) "składa sie z dwu sił wzajemnie prostopadłych. \(\displaystyle{ R _{Ax}, i, R _{Ay}}\)

2.To, że są dwie niewiadome siły, niewiadome co do wartości liczbowej, czyli miary, to nic wielkiego. Jest ich dwie, ale działaja pod znanymi kierunkami którymi są kierunki prętów, a te określają kąty , które trzeba wyrachować z "geometrii" kratownicy. Zatem one też są znane. Zatem dalej, są dwie niewiadome np. \(\displaystyle{ S _{1} ,S _{2}}\) i dwa równania równowagi, dwie sumy rzutów na dwie ( nierównoległe, ale zato prostopadłe, co trzeba wyzyskać) osie . Zatem układ jest rozwiązywalny i do tego jednoznacznie. To, ze tzreba trochę popracowac nad rachunkami to już inna sprawa, ale rozwiązać można każdy z węzłów.
Nie wszystkie pręty skreślone mimo że mogą być "zerowe" można usunąć. Takim jest np. pręt biegnący w lewo od podpory przesuwnej \(\displaystyle{ B}\)
Usunięcie tego pręta spowoduje utratę warunku niezmienności geometrycznej kratownicy. Podpora może 'odjechać" wraz z prętem a kratownica pochylić się.
W.Kr.

[ranov]

Oznaczyłem kąty względem osi x i y (\(\displaystyle{ \beta = 45^{\circ}}\))


\(\displaystyle{ \sum x = P_1 + S_1 \cos \alpha + S_2 \cos \beta}\)

\(\displaystyle{ \sum y= - P_3 + S_1 \sin \alpha - S_2 \cos \beta}\)

i co z tym robić?

[kruszewski]

Ten pionowy pręt ( rysunek do ostatniego listu) jest rozciągany, zatem zwrot tej niebieskiej siły jest przeciwny do zaznaczonego. Siła to ma miarę taką jaka ma pionowa siła przyłozona do skrajnego lewego dolnego węzła. Zatem są znane siły, znane są kąty jakie tworzą pręty. Nic nie stoi na przeszkodzie by napisać równania sum rzutów na osie, pionową i poziomą, bo Kolega ich nie zaznacza. Ale dobrze byłoby zrobić dobry rysunek kratownicy, oznaczyć węzły i pręty, rozmiary i kąty jeżeli są podane. A jak nie, to pooznaczać je i wyliczyć. Nie wierzę, że do zadania nie zostały podane wymiary kratownicy, czyli jej geometria.
Bez tak zrobionego rysunku trudno dyskutować.
W.Kr.

[ranov]

oczywiście wszystkie odległości zostały podane (jednak jak na razie nie są chyba najważniejsze, ale podam: między słupkami- 3m, wysokość najniższego słupka- 3m, najwyższego- 4m). Kąty oczywiście też bez problemu do wyliczenia.
W przypadku powyższego węzła \(\displaystyle{ \alpha \approx 9,5^{\circ}, \beta = 45^{\circ}}\)

Faktycznie na rysunku zaznaczyłem zły kierunek dla wektora siły pionowej, ale w obliczeniach już wstawiłem minus.
Czy mogę w takim razie rozpisane sumy prostopadłych sił rozwiązywać jako 1 równanie? W takim przypadku \(\displaystyle{ P_1}\) i \(\displaystyle{ P_3}\) się redukują (obie mają wartość \(\displaystyle{ 10 kN}\) ), podobnie \(\displaystyle{ S_2}\) na obu osiach i zostaje \(\displaystyle{ S_1 ( \sin \alpha + \cos \alpha)=0}\) Czy to oznacza, że \(\displaystyle{ S_1}\) jest kolejnym prętem zerowym? czy ja coś pomyliłem?

-- 17 lis 2011, o 17:20 --

Idąc tym tokiem, rozwiązałem węzeł w punkcie A (z reakcją pod kątem) i znowu się zatrzymałem w pasie górnym, gdzie sytuacja jest trudniejsza niż ostatnio...
Tym razem też są po dwie siły na oś, a w układzie równań, na dodatek się nie redukują.

Jest taka możliwość, żeby w pojedynczych węzłach obrócić wszystkie pręty, tak, by pas górny, będący pod jakimś kątem stanowił oś poziomą X ?

[kruszewski]

Pierwsze trzy węzły równoważy sie tak jak na rysunku pod adresem :

Proszę zauważyć, zmianę zwrotów obliczonych wcześniej sił w prętach. Bo pręt rozciągany "ciągnie" węzeł, podobnie ściskany "popycha" go.
Problem z kątem \(\displaystyle{ \beta}\) nie jest problemem. Jego miara jest jednakowa dla lewj części i podobnie dla prawej. Zatem raz obliczone, możliwie dokładnie, wartości jego funkcji sinus i kosinus używamy kiedy zachodzi potrzeba. Podobnie z kątami krzyżulców. Trzeba je policzyć z geomerii kratownicy a następnie ich funkcje trygonometryczne.
O " obracaniu" czegokolwiek nie może tu być mowy.
W.Kr.

[ranov]

Dziękuję za wsparcie, ale wracam z problemem. Obliczenia kątów i zapisane równania są dla mnie oczywiste- mimo, że pręt \(\displaystyle{ S_4}\) (z pasu górnego) ma siłę równą 0, co trochę dziwne. Dziwi mnie jeszcze kąt pod jakim miałaby działać reakcja podpory \(\displaystyle{ R_A}\). Na konsultacjach profesor nie zwrócił mi uwagi na pionowe działanie tej siły, a dodał prostopadłą do niej (wzdłuż pręta zerowego \(\displaystyle{ S_2}\)) siłę \(\displaystyle{ H_A}\). Rozwiązałem całą kratownicę z 6-7 razy i za każdym razem źle.

Może też źle sprawdzam metodą Rittera- mam przeciąć oznaczone poniżej pręty: 1,2,3:

Kod: Zaznacz cały

http://wstaw.org/w/NpW/

\(\displaystyle{ \sum M_R_1_2 = -P_1 -P_3 \times 6 +H_A \times 4 + R_A \times 3 - S_3 \times 4}\)
lub: \(\displaystyle{ \sum M_R_1_2 = -P_1 -P_3 \times 6 + R_A \cos \alpha \times 3 - S_3 \times 4}\)

\(\displaystyle{ \sum M_R_2_3 = -P_1 \times 3 -P_3 \times 9 + R_A \times 6 + S_1 \times 4}\)
i
\(\displaystyle{ \sum x = S_1 + S_2 \times \sin \gamma + S_3 + P_1 - H_A}\) (można dopisać Ra * sin alfa)

[kruszewski]

W pierwszym kroku proszę obliczyć {tex} R _{B}[/latex] z równania równowagi momentów wzgledem bieguna \(\displaystyle{ A}\) .
W drugim kroku proszę wirtualnie przeciąć kratownicę przez pręty 1, 2, 3 i wirtualnie odrzucić lewą część kratownicy. Wtydy prawa część jest obciążona siłami czynnymi i bierną równoległymi do osi \(\displaystyle{ 0-y}\) . To ten pożytek z odrzucenia lewej części.
W kroku trzecim "wystające pręty " należy obciążyć siłami \(\displaystyle{ S _{1} , S _{2}, S _{3}}\) , jeszcze niewiadomych miar, ale o znanych już kierunkach i zaopatrzyć je w zwroty "od kratownicy na zewnątrz. To taka praktyczna metoda.
W kroku czwartym napisać równanie sumy momentów wszystkich sił , nie zapominając o reakcji ( ta też jest równoległa do osi \(\displaystyle{ 0-y}\)
względem punktu-bieguna w którym zbiegają się siły \(\displaystyle{ S _{1}, S _{2}}\) ( Ich momenty względem tego bieguna będą zerowe. Zatem obliczenie \(\displaystyle{ S _{3}}\) jest łatwe.
W kroku piątym z równania sumy rzutów na oś \(\displaystyle{ 0-y}\) obliczymy siłę w pręcie ukośnym \(\displaystyle{ S _{2}}\) znając kąt jaki tworzy on z kierunkiem pręta 1 poprzez znajomość wartości jego funkcji tangens.
W kroku szóstym z równania sumy rzutów na drugą oś obliczymy siłę \(\displaystyle{ S _{1}}\) w pręcie \(\displaystyle{ 1}\).
W.Kr.

[ranov]

Ritter po lewej stronie nie do końca się sprawdził (siła z jednego momentu nie pokrywała się z poprzednimi wynikami), ale po prawej stronie faktycznie- oba momenty i suma sił wzdłuż osi Y potwierdziły poprawność poprzednich wyliczeń. Teraz już chyba uda mi się do końca wyliczyć. Więc na razie dziękuję za pomoc i poświęcony czas
ps. oczywiście kliknę "pomógł"-- 29 lis 2011, o 21:17 --Jeszcze jedno pytanie- czy te skreślone pręty z prawej strony kratownicy także brać pod uwagę przy obliczaniu, czy niekoniecznie muszą być zerowe?