Obliczanie wsp tarcia równanie różniczkowwe

[Euklidess_PL]

Witam. Mam kilka pytań odnośnie równania różniczkowego z którego wyprowadzono wzór na współczynnik tarcia zawarty w publikacji naukowej pod linkiem:

http://yadda.icm.edu.pl/baztech/element/bwmeta1.element.baztech-89bfac0d-a1c0-436d-935c-321599c5714f
moj rysunek

czy równanie 7 to rzut sil na na kierunek sily \(\displaystyle{ Fq}\) ? (kierunek sily \(\displaystyle{ Fq}\) zaznaczyłem na swoim rysunku)
zakladam ze w rownaniu 6
- q\(\displaystyle{ \mu }\)wR\(\displaystyle{ d{y}}\) to sila tarcia,
- naprezenie razy pole powierzchni czyli sila nazwijmy ja \(\displaystyle{ Fq}\) jest prostopadla do sil F
- \(\displaystyle{ F=F1 , (F+df)=(F2+dF2)}\)

jak doprowadzic równanie 6 do postaci 8 , w jaki sposób całkowicie znika \(\displaystyle{ qwR}\) ze wszystkich członów równania ?

równanie 7 można uprościc do postaci
\(\displaystyle{ 2qwRdy=F2dy + F1dy + dF1dy}\) , jeśli założymy że \(\displaystyle{ dF1dy}\) - to bardzo mała wielkość bliska 0 oraz gdy równanie \(\displaystyle{ 2qwRdy=F2dy + F1dy }\) podzielimy przez \(\displaystyle{ 2wRdy}\) to wyjdzie równanie (10),
dlaczego nie całkujemy równania \(\displaystyle{ 2qwRdy=F2dy + F1dy + dF1dy=0}\) a równanie 8 już tak skoro w obydwóch równaniach występują różniczki ?
jaki jest sens fizyczny członu \(\displaystyle{ qwRdy}\) równania 7 ?
\(\displaystyle{ wRdy}\)-jest to nieskończenie male pole powierzchni na jakim działa siła \(\displaystyle{ Fq }\)? więc \(\displaystyle{ qwRdy}\)-jest to siła działająca na nieskończenie małym polu powierzchni ?
w przypadku siły sile zapisujemy jako \(\displaystyle{ F + df}\) a dlaczego nie zapisujemy analogicznie wartości kąta jako gama plus dgama ?

[janusz47]

Równanie różniczkowe wektorowe \(\displaystyle{ (6) }\) wynika z warunku równowagi sił działających na elementarny (infinitezymalny) wycinek paska blachy.

Równanie \(\displaystyle{ (7) }\) jest równaniem różniczkowym skalarnym, wynikającym z rzutu sił na kierunek osi \(\displaystyle{ Oy }\) przy założeniu, że miara kąta opasania \(\displaystyle{ y }\) jest stała podczas deformacji.

Założono, że dla infinitezymalnej miary kąta \(\displaystyle{ dy,\ \ \sin\left(\frac{dy}{2}\right) \approx \frac{dy}{2} }\) oraz przyjęto, że wartość siły \(\displaystyle{ dF<< F }\) czyli pominięto \(\displaystyle{ dF.}\)

Przy tych założeniach na podstawie równania \(\displaystyle{ (6) }\) otrzymano równanie

\(\displaystyle{ F +q\cdot\mu\cdot w \cdot R\cdot dy -F - dF = 0 }\)

czyli

\(\displaystyle{ q\cdot \mu\cdot w\cdot R\cdot dy = dF \ \ (6') }\)

Na podstawie równania \(\displaystyle{ (7) }\) otrzymano

\(\displaystyle{ q\cdot w\cdot R\cdot dy - F \cdot \frac{dy}{2} - F \cdot \frac{dy}{2} - dF\frac{dy}{2} = q\cdot w\cdot R\cdot dy - F\cdot dy - 0 = q\cdot w\cdot R\cdot dy - F\cdot dy = 0.}\)

czyli równanie

\(\displaystyle{ q\cdot w\cdot R = F \ \ (7') }\)

Podzielono stronami równania \(\displaystyle{ (6') (7') }\)

\(\displaystyle{ \frac{q \cdot \mu\cdot w \cdot R\cdot dy}{q\cdot w\cdot R} = \frac{dF}{F} }\)

\(\displaystyle{ \mu\cdot dy = \frac{dF}{F} }\)

Jest to postać równania \(\displaystyle{ (8). }\)

[Euklidess_PL]

Sporo rozjaśniło . Dziękuje. Natomiast z równania \(\displaystyle{ q\cdot w \cdot R \cdot dy = F \cdot dy}\) znika dy w jaki sposób ? Zakładam iż nie można dzielić przez operator "\(\displaystyle{ dy}\)" więc wnioskuje że najpierw zscalkowano uzyskawszy w ten sposób \(\displaystyle{ q\cdot w \cdot R \cdot y = F \cdot y}\) a następnie podzielono przez "\(\displaystyle{ y}\)" czyż tak ?

Kolejne pytanie. W tekście jest napisane iż \(\displaystyle{ F_1>F_2}\) . SKoro jedna siła jest większa od drugiej to czy dalej mamy do czynienia z równowagą sił ? Chyba że siła tarcia powoduje tę równowagę pomimo tego iż \(\displaystyle{ F_1>F_2}\) .
Jeśli nie ma równowagi sił to dlaczego do wyprowadzenia wzoru stosuje się założenia równowagi sił dla nieskończenie małego elementu ?

W rozważanym problemie kierunek \(\displaystyle{ Oy}\) to kierunek pionowy ?

[janusz47]

1.
Tak.

2.
Występuje równowaga sił.

3.
Tak.

[StudentIB]

http://yadda.icm.edu.pl/baztech/element/bwmeta1.element.baztech-89bfac0d-a1c0-436d-935c-321599c5714f

Polecam książkę „Tarcie, zużycie i smarowanie w obróbce plastycznej metali” M. Gierzyńskiej jeśli interesuje Cię ten temat.