Środek ciężkości wycinka koła

[StudentIB]

Witam,

chcę sobie poćwiczyć temat środków ciężkości figur płaskich z mechaniki i trafiłem na problem z jednym zadaniem. Chodzi o przykład z wyznaczeniem środka ciężkości wycinka koła o promieniu \(\displaystyle{ R}\) i kącie środkowym \(\displaystyle{ 2 \alpha}\). Tak wygląda schemat do tego zadania:

Kod: Zaznacz cały

https://imgur.com/SNekzB7

I nie rozumiem skąd biorą się te dwa zapisy na pole powierzchni i środek ciężkości powierzchni elementarnej o kącie środkowym \(\displaystyle{ d \varphi}\):

\(\displaystyle{ dA=\frac{1}{2}R^{2} d \varphi}\)

\(\displaystyle{ x=\frac{2}{3}R \cos{\varphi}}\)

Czy ktoś mógłby wytłumaczyć/rozpisać skąd to się bierze ? Próbowałem to wyprowadzić na różne sposoby, ale nic z tego. Zwłaszcza z drugim równaniem mam problem, bo w pierwszym zauważyłem zależność \(\displaystyle{ R d \varphi \cdot \frac{R}{2}= \frac{1}{2}R^{2} d \varphi}\) chociaż też nie do końca rozumiem z czego to wynika. Zresztą ogólnie zadanie wydaje się dziwne, bo skoro znamy środek ciężkości powierzchni elementarnej w kształcie wycinka koła to dlaczego nie możemy w taki sam sposób od razu wyliczyć środka ciężkości analizowanej figury, która też jest wycinkiem koła ?

Z góry dziękuję za pomoc

[kruszewski]

1.
Pole powierzchni wycinka tego wycinka o podstawie nieskończenie mało różniącej się od odcinka miary długości łuku \(\displaystyle{ R \sin d \varphi }\)
i dla bardzo małych kątów podstawienie: \(\displaystyle{ \sin d\varphi = d\varphi}\) daje w wyniku takie rozwiązanie.
\(\displaystyle{ dA = \frac{1}{2} R \cdot R d \varphi = \frac{1}{2} R^2 d \varphi}\)

2.
Środek ciężkości takiego, elementarnego, trójkata którego wysokość jest nachylona do osi symetrii wycinka pod kątem \varphi, jest w odległości \(\displaystyle{ x}\) będącego rzutem odcinka miary \(\displaystyle{ 2/3}\) wysokości wycinka \(\displaystyle{ dA}\) ("trójkątnego"), która ma miarę nieskończenie bliską miary promienia \(\displaystyle{ R}\) na symetralną \(\displaystyle{ 0X}\) wycinka koła.
\(\displaystyle{ x = \frac{2}{3} R \cos \varphi}\)

[StudentIB]

Dziękuję za odpowiedź. Tak myślałem, że ten elementarny wycinek jest upraszczany do trójkąta, ale nie byłem pewny.

Co do pierwszego równania, rozumiem, że mnożenie \(\displaystyle{ R d \varphi}\) przez \(\displaystyle{ \frac{1}{2}R}\) wynika po prostu ze wzoru na pole trójkąta \(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}ah}\).

Co do drugiego równania, tu też praktycznie już wszystko jasne. Środek ciężkości tej elementarnej powierzchni w kształcie trójkąta jest w odległości \(\displaystyle{ \frac{2}{3}R}\) od wierzchołka figury. Ale nie pomyślałem, że to jeszcze trzeba zrzutować na oś \(\displaystyle{ x}\).

[kruszewski]

To rzutowanie wynika stąd, że " środek ciężkości wycinka" będzie w tym punkcie "pod którym podeprzemy" wycinek siłą (reakcją podpory) miary pola wycinka równoważącą sumę momentów sił miary pola elementarnego pola wcinka \(\displaystyle{ dA}\) względem bieguna, tu środka koła przynależnego do prostej prostopadłej do niego. A każda z tych sił działa na ramieniu \(\displaystyle{ 2/3R \cos \varphi_i }\)
\(\displaystyle{ x = \frac{ \sum_{ }^{} dA_i \cdot \frac{2}{3} R \cos \varphi _i }{ \sum_{}^{} dA _i} = \frac{ \sum_{ }^{} dA_i \cdot \frac{2}{3} R \cos \varphi _i }{ A} }\)

[siwymech]

Metoda: dzielimy wycinek na wiele wąskich elementarnych pól-wycinków, z których każdy w przyblizeniu możemy uważać za trójkat o wysokości równej promieniowi koła \(\displaystyle{ R.}\) Wiemy. że środki ciężkości \(\displaystyle{ \Delta F}\), elementarnych trójkątów leżą na łuku o promieniu \(\displaystyle{ \frac{2}{3} R. }\)
Środek ciężkości tego łuku jest jednocześnie środkiem wycinka koła.
............................................
A propo Pana wątpliwości. Na przedstawionym rysunku odcięta \(\displaystyle{ x _{o} }\) środka ciężkości jest niewłaściwie "nieprostokątnie" zrzutowana, stąd wątpliwości jak ją wyznaczyć. Po właściwym zrzutowaniu mamy oczywistą długość przeciwprostokatnej: \(\displaystyle{ \frac{2}{3} R .}\)

[kruszewski]

Punkt \(\displaystyle{ C}\) nie jest rzutem punktu odległego od środka koła o \(\displaystyle{ \frac{2}{3} R}\) zaznaczonym na rysunku.
To "spodziewane", szkicowo zaznaczone położenie środka ciężkości wycinka.

[StudentIB]

Dokładnie, ten punkt akurat dotyczy środka ciężkości całej figury, wstępnie zaznaczonego na schemacie. Właściwie to mogli tam napisać \(\displaystyle{ x_{C}=?}\) żeby było jasne, że to jeszcze nie wyznaczona współrzędna.

[kruszewski]

Tam jest napis \(\displaystyle{ x_C}\) odnoszący się do punktu \(\displaystyle{ C}\) (w domyśle środek ciężkości.)

[siwymech]

Adres , który jest bardzo pomocny i poparty jednoznacznym rysunkiem