chcę sobie poćwiczyć temat środków ciężkości figur płaskich z mechaniki i trafiłem na problem z jednym zadaniem. Chodzi o przykład z wyznaczeniem środka ciężkości wycinka koła o promieniu \(\displaystyle{ R}\) i kącie środkowym \(\displaystyle{ 2 \alpha}\). Tak wygląda schemat do tego zadania:
Kod: Zaznacz cały
https://imgur.com/SNekzB7
I nie rozumiem skąd biorą się te dwa zapisy na pole powierzchni i środek ciężkości powierzchni elementarnej o kącie środkowym \(\displaystyle{ d \varphi}\):
\(\displaystyle{ dA=\frac{1}{2}R^{2} d \varphi}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{2}{3}R \cos{\varphi}}\)
Czy ktoś mógłby wytłumaczyć/rozpisać skąd to się bierze ? Próbowałem to wyprowadzić na różne sposoby, ale nic z tego. Zwłaszcza z drugim równaniem mam problem, bo w pierwszym zauważyłem zależność \(\displaystyle{ R d \varphi \cdot \frac{R}{2}= \frac{1}{2}R^{2} d \varphi}\) chociaż też nie do końca rozumiem z czego to wynika. Zresztą ogólnie zadanie wydaje się dziwne, bo skoro znamy środek ciężkości powierzchni elementarnej w kształcie wycinka koła to dlaczego nie możemy w taki sam sposób od razu wyliczyć środka ciężkości analizowanej figury, która też jest wycinkiem koła ?
Z góry dziękuję za pomoc