Zagadnienie utraty stateczności prętów smukłych - długich o małym wymiarze poprzecznym, rozwikłał szwajcarski
matematyk fizyk L.Euler w XVIII w.
Określił on wartość siły krytycznej \(\displaystyle{ F _{kr} }\) dla osiowo ściskanych prętów po przekroczeniu, której pręt ulega trwałemu odksztaceniu -wyboczeniu. Należy podkreślić, że ważność wzoru Eulera oparta jest na założeniu sprężystości wyboczenia. Naprężenia krytyczne powstałe w pręcie nie mogą przekraczać granicy proporcjonalności \(\displaystyle{ R _{H}-}\)-stosowalność prawa Hook'ea!
Dodano po 5 minutach 33 sekundach:
Propozycja rozwiązania.
1.Sprawdzamy warunek stosowalności siły Eulerowskiej \(\displaystyle{ \lambda \ge \sqrt{ \frac{ \pi ^{2} \cdot E }{R _{H} } }=\lambda _{gr} }\) ,(1)
/Smukłość \(\displaystyle{ \lambda}\) rozpatrywanego pręta nie może być mniejsza od smukłości granicznej-\(\displaystyle{ \lambda _{gr} }\)/
1.1 Smukłość pręta o przekroju teowym i wymiarach jak na szkicu \(\displaystyle{ \lambda= \frac{l _{zr} }{i} }\) \(\displaystyle{ l _{zr}=l=700 \quad mm }\)- długość tkzw. zredukowana zależy od sposobu zamocowania. Pręt na obu końcach zamocowany przegubowo. \(\displaystyle{ i= \sqrt{ \frac{J _{min} }{S} } }\)- promień bezwładności danego przekroju \(\displaystyle{ J _{miny}=J _{y1}+J _{y2}= \frac{ab ^{3} }{12}+ \frac{ca ^{3} }{12} }\)- namniejszy główny moment bezwładności przekroju pręta wzgl. osi y.
/ Wyboczenie bowiem następuje zawsze w kierunku prostopadłym do płaszczyzny, w której leży oś preta oraz oś najmniejszego momentu bezwładnosci przekroju pręta. Podzielono figurę przekroju na dwie elementarne figury- prostokąty. Oś środkowa całej figury pokrywa się z osiami środkowymi obu figur. Nie trzeba stosować tw. Steinera./ \(\displaystyle{ S=b \cdot a+c \cdot a}\)- pole danego przekroju
1.2 Smukłość graniczna dla wybranego materiału- stal \(\displaystyle{ \lambda _{gr} \ge \sqrt{ \frac{ \pi ^{2} \cdot E }{R _{H} } }=100 }\)
Przyjęto materiał pręta: stal konstrukcyjna węglowa zwykłej jakości; \(\displaystyle{ R _{H}=200\quad MPa }\), \(\displaystyle{ E=200 000\quad MPa}\)
..................
Jeżeli warunek (1) jest spełniony- pręt ma smukłość większą od granicznej, to możemy zastosować wzór Eulera i obl. siłę krytyczną: \(\displaystyle{ F _{kr} = \frac{ \pi ^{2} \cdot E \cdot J _{ymin} }{l ^{2} _{zr} } }\)
..................................... Pręty o smukłości mniejszej od granicznej \(\displaystyle{ \lambda< \lambda _{gr}}\) [/latex] liczymy na wyboczenie niesprężyste z wzorów empirycznych np. Tetmajera, Johnsona-Ostenfelda!
