Płyta pod obciążeniem udarowym

StudentIB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 556
Rejestracja: 9 lut 2015, o 13:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 45 razy

Płyta pod obciążeniem udarowym

Post autor: StudentIB » 10 sty 2021, o 23:07

Witam,

rozważmy następujący przypadek: płyta prostokątna jest utwierdzona na wszystkich krawędziach. Uderza w nią pewien obiekt (dla uproszczenia przyjmijmy, że ma on kształt kuli i jest idealnie sztywny) o określonej prędkości początkowej. Czy da się policzyć chociaż w przybliżeniu jakie będą naprężenia i ugięcie tej płyty ? Oczywiście pomijając deformację plastyczną.

W tym zagadnieniu występują dwie trudności:

a) policzenie maksymalnej siły uderzenia kuli w płytę:

znam wzór \(\displaystyle{ F=\frac{m \cdot \Delta v}{\Delta t}}\), ale wymaga on znajomości czasu zderzenia. Nie jestem też pewien czy pozwala wyliczyć średnią czy maksymalną siłę uderzenia.

b) policzenie naprężeń i ugięcia płyty pod wpływem siły wyznaczonej w punkcie a:

tu jest o tyle łatwiej, że w książce "Wzory, wykresy i tablice wytrzymałościowe" Niezgodzińskich można znaleźć gotowe wzory na naprężenia i ugięcie płyty prostokątnej utwierdzonej na wszystkich krawędziach gdy siła jest przyłożona w jej środku na pewnym obszarze o małym promieniu. Wprawdzie jest tu założenie, że utwierdzenie jest nieprzesuwne - nie wywołuje sił rozciągających płytę, ale trudno. Co jednak gdy kula uderza w inne miejsce niż środek płyty ? Da się to uwzględnić ?

Dodam jeszcze, że szukałem rozważań na ten temat w literaturze, ale książki z wytrzymałości materiałów jeśli już omawiają obciążenia udarowe to tylko dla prętów i belek. Natomiast podręczniki o teorii płyt poruszają kwestie dynamiki jedynie w rozumieniu drgań.

Dodam też, że mam możliwość sprawdzenia poprawności obliczeń analitycznych poprzez porównanie z modelem numerycznym (przykład na zdjęciu poniżej):

https://imgur.com/2pGY01c

Z góry dziękuję za pomoc.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

StudentIB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 556
Rejestracja: 9 lut 2015, o 13:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 45 razy

Re: Płyta pod obciążeniem udarowym

Post autor: StudentIB » 7 maja 2021, o 18:29

Rozwiązanie tego problemu znalazłem w książce "Teoria uderzenia w dyskretnych układach mechanicznych" R. Grybosia (jedyna polska książka na ten temat). Można do takich obliczeń skorzystać z metody energetycznej H. Coxa (1849 r.). W tej metodzie wyznacza się dynamiczny współczynnik uderzenia. Podręcznik omawia różne przypadki, w tym płyty kołowe i prostokątne.

Przykładowo weźmy sztywno utwierdzoną płytę kwadratową o boku \(\displaystyle{ 2a=50 \ cm}\), na którą spada swobodnie z wysokości \(\displaystyle{ h=3 \ cm}\) bijak o ciężarze \(\displaystyle{ G_{1}=200 \ N}\). Współczynnik Poissona płyty to \(\displaystyle{ \nu=1/3}\).

Współczynnik uderzenia:

\(\displaystyle{ \mu=1+ \left[ 1+ \frac{1+ \beta M}{(1+ \beta_{\ast}M)^{2}} \cdot \frac{2h_{1}}{w_{s}} \right]^{\frac{1}{2}}}\)

Stosunek mas dla \(\displaystyle{ \gamma_{c}=0,0766 \ \frac{MN}{m^{3}}}\) wynosi:

\(\displaystyle{ M=\frac{4 a^{2}h \gamma_{c}}{G_{1}}=0,975}\)

Ugięcie statyczne dla \(\displaystyle{ b=a=0,25 \ m}\) i \(\displaystyle{ E=2 \cdot 10^{5} \ \frac{MN}{m^{2}}}\) jest równe:

\(\displaystyle{ w_{s}=\frac{12(1- \nu^{2})a^{2}}{53,5 \ Eh^{3}} \cdot G_{1}=0,001277 \ cm}\)

Przyjmując dla płyty kwadratowej o brzegach utwierdzonych \(\displaystyle{ \beta=0,1158}\) i \(\displaystyle{ \beta_{\ast}=0,2255}\), uzyskujemy współczynnik uderzenia równy:

\(\displaystyle{ \mu=60,4}\)

Dalej można by obliczyć naprężenia dynamiczne. Nie jest to przedstawione w książce dla tego przykładu, ale na zasadzie analogii do poprzedniego zadania (z prętem uderzanym poprzecznie) wnioskuję, że wystarczy przemnożyć statyczny moment zginający płytę przez ten współczynnik uderzenia.

Tego typu zagadnienia są też omawiane w książce "Formulas for Mechanical and Structural Shock and Impact" G. Szuladzińskiego.

ODPOWIEDZ