Średnica dwustopniowego drążonego wału

[lthk]

Oblicz dopuszczalną średnicę wewnętrzną drążonego, dwustopniowego wału wykonanego ze stopu aluminium, obciążonego momentem skręcającym
Ms = 2,5 Nm. Długość odcinków wału wynosi: a =700 mm, b = 400 mm, a średnice zewnętrzne: Dz1 = 50 mm, Dz2 = 70 mm, dopuszczalne naprężenia kt =50 MPa, dopuszczalny całkowity kąt skręcenia: 0.07 rad.
Jak ktoś ma jakiś pomysł, wskazówkę to chętnie wysłucham
Jak liczyłem to mi wychodzą wartości np 0,1mm ,49 mm albo 59mm - które nie mogą istnieć

[StudentIB]

Dla wału drążonego warunek dopuszczalnych naprężeń ma postać:

\(\displaystyle{ \tau_{max}=\frac{M_{s}}{\frac{\pi \left( D^{4}-d^{4} \right)}{16D}} \le k_{s}}\)

gdzie: \(\displaystyle{ M_{s}}\) - moment skręcający, \(\displaystyle{ D}\) - średnica zewnętrzna, \(\displaystyle{ d}\) - średnica wewnętrzna

Zaś warunek sztywności:

\(\displaystyle{ \varphi=\frac{M_{s}L}{G \cdot \frac{\pi \left( D^{4}-d^{4} \right) }{32}} \le \varphi_{dop}}\)

gdzie: \(\displaystyle{ \varphi}\) - kąt skręcenia, \(\displaystyle{ L}\) - długość wału, \(\displaystyle{ G}\) - moduł Kirchhoffa

[lthk]

z pierwszego warunku, który już sprawdzałem wielokorotnie wynika to samo co zawsze czyli, że d = 0,049 m czyli d = 49mm.
warunku sztywności nie ma sensu sprawdzać skoro szukane d = 49mm.
Bo jak rozumialem chciałeś sprawdzić czy dla znalezionego d wyjdzie poprawny całkowity kąt skręcenia.
Uprzedze odpowiedź i ten warunek i powyższy sprawdzałem niezależnie od średnicy dużej D = 50/70mm.
Te warunki niestety nie pomagają w tym zadaniu.

[StudentIB]

Masz jakiś schemat do tego zadania ? Rozumiem, że wał jest dwustopniowy, ale jak jest przyłożony moment/momenty ? Kojarzysz zadania z wytrzymałości materiałów gdzie robiło się wykresy momentu skręcającego na długości pręta o różnych średnicach ?

[lthk]

Mam schemat ale nie umiem niestety wrzucić zdjęcia ale w każdym razie na schemacie nie ma zaznaczonego momentu oraz co ważne ten wał nie jest do niczego przytwierdzony, nie ma żadnych podpór (tak jakbys rysunek techniczny wałka dwustopniowego narysował i tylko zwymiarował)
(dwa wałki, 1 to a= 700mm, gdzie średnica = 50 mm , drugi b=400m , średnica (70mm) (a,b - długości )
Spróbje link wrzucić ale nie umiem za bardzo : (tam na rysunku powinno byc 700 zamiast 800)
Kojarze takie zadanie ale to nie jest zadanie tego typu (moim zdaniem)

[StudentIB]

Jakaś podpora musi być, w tym przypadku pewnie (w domyśle) chodzi o utwierdzenie jednego końca wału. Jak w przykładzie 2.32 z tej strony (tylko z jednym momentem):


Zakładając, że same obliczenia są dobre, może się tak zdarzyć, że wyjdą bardzo cienkie ścianki, ale to wtedy znaczy, że po prostu wał dużo wytrzyma i średnica nie może być mniejsza niż ten przykładowy milimetr, ale oczywiście może być też znacznie większa.

Zawsze można obliczenia sprawdzić MES-em. Tylko trzeba uważnie przygotować analizę i odczytać wyniki.

[kruszewski]

Zauważmy, że w przekroju (poprzecznym) w którym zmieniają się średnice zewnętrzne wału kąt skręcenia \(\displaystyle{ \varphi_o }\) jest równej miary dla obu części , lewej i prawej w tym przekroju wału co wynika z nierozdzielności przedmiotu. Oznaczając indeksami (1) parametry cieńszej części wału zaś indeksami (2) grubszej, można napisać dla przekroju zmiany średnic równość:
\(\displaystyle{ \varphi_{o_l} = \varphi _{o_p} }\)

\(\displaystyle{ \frac{M_1 l_1}{J_{01} }= \frac{M_2 l_2}{J_{o2} } }\)
I podstawiając znane nam dane otrzymamy:
\(\displaystyle{ \frac{7^4 - d^4}{5^4 - d^4} = \frac{4}{7} \cdot \left( \frac{2,5 }{M_1 } -1 \right) }\)

Drugim równaniem będzie warunek wytrzymałości cieńszej części (indeks 1) wału :

\(\displaystyle{ \frac{M_1}{W_{o1}} \le k_t}\)

Dodano po 51 minutach 10 sekundach:
Zadanie jest jednokrotnie hiperstatyczne.
Niżej szkic do rozwiązania.

Dodano po 37 minutach 11 sekundach:
Szkic problemu

Dodano po 6 godzinach 46 minutach 15 sekundach:
wg drugiego sposobu przyłożonych momentów skręcających.

[lthk]

Wyznaczyłem z 2 wzoru \(\displaystyle{ M_{1} }\) opisując za pomocą dwóch średnic \(\displaystyle{ D_{1} =50mm}\) i \(\displaystyle{ d }\) -szukanej
I skorzystałem z (1) wzoru liczbowego, który podaleś, średnica wyszła \(\displaystyle{ d= 3,83 [cm]= 38,33 [mm] }\)
Nie rozumiem tylko dlaczego w pierwszy wzorze jak podstawiłeś to, po prawej stronie równania tam masz \(\displaystyle{ \frac{4}{7}\cdot\left( \frac{2,5}{M} -1\right) }\). Skąd tam się odejmowanie wzięło, jak przekształcamy wzór to tam jest czyste mnożenie, a wyciąganie wspólnego czynnika przed nawias i tak nam nie generuje odejmowania.
A skąd pomysł aby dać drugi moment? Toż to tajemnica, jak w zadaniu podano 1, ale to już nieważne.

[kruszewski]

Jeżeli rozpatrujemy przypadek wału skręcanego momentem przyłożonym do jednego z czół wału gdzie drugie jest utwierdzone, to przypadek jak w zadaniu, wtedy zauważamy, że moment skręcający ma stałą wartość i zwrot wzdłuż wału.
Zatem każda z tych dwu części, grubsza i cieńsza jest skręcana momentem o takich samych wartościach i kierunku.
Pytanie o całkowity kąt skręcenia jest pytaniem o sumę kątów skręcenia obu części wału.
\(\displaystyle{ \varphi = \varphi_1 + \varphi_2 }\)
\(\displaystyle{ \varphi = \frac{M_s}{G} \left( \frac{l_1}{J_{o1}} + \frac{l_2}{J_{o2}} \right) }\)
Kryterium głównym jest zawsze kryterium wytrzymałości lub trwałości, zaś sztywności jest pobocznym.
Z kryterium głównego
\(\displaystyle{ W= \frac{ \pi }{32} \frac{D_{1}^4 - d^4}{D_{1}} \ge \frac{M_s}{k_t} }\)
wyznaczymy (i przyjmiemy znormalizowaną jeżeli potrzeba) średnicę \(\displaystyle{ d}\) otworu drążonego.
Dla znanych, bo zadanych średnic zewnętrznych \(\displaystyle{ D_1, D_2}\) i otworu \(\displaystyle{ d}\) z warunku wytrzymałości (bezpieczeństwa) obliczymy momenty bezwładności przekroju \(\displaystyle{ J_1 \ i \ J_2}\) i wg wzoru na \(\displaystyle{ \varphi = \varphi_1 + \varphi_2}\) sprawdzimy spełnienie warunku sztywności.
Jeeli nie będzie spełniony wtedy wprowadzamy korektę średnicy otworu drążonego, zmniejszamy jego średnicę.

Dodano po 1 godzinie 9 minutach 49 sekundach:
takie kąty

[lthk]

Niestety nie udalo mi się rozwiązać tego zadania, wychodzą niestety dziwne średnice, zblizone do głównej zewnętrznej (49,996 [mm] albo mała np 0,01 [mm]), ale w każdym razie i tak dzięki za pomoc i za zobrazowanie zadania

[kruszewski]

Wniosek z treści zadania:
1. Wyobrażenie sobie realizacji momentu skręcającego wał.

Moment \(\displaystyle{ M_s = 2,5 \ Nm }\) to na "czucie ręką" taki moment jaki wywołuje jedna torebka, "kilogramowa" mąki lub cukru zawieszona na ćwierćmetrowym (25 cm) ramieniu.
\(\displaystyle{ 1N \approx 0,1 kG , 2,5 Nm \approx 0,25 kG \cdot 100 cm = 4 \cdot 0,25 kG \cdot \frac{100}{4} \ cm \approx 1 kg \ torebka \ cukru \
zawieszona \ na \ ćwierćmetrowym \ ramieniu}\).
Resztę, za wyjątkiem sposobu wprowadzenia momentu na wał, znamy. Omal nierealna.

Dodano po 57 minutach 48 sekundach:
Wynik \(\displaystyle{ d= 4,99}\) cm jest poprawny.
Treść zadania, słowna podobnie, ale obciążenie momentem wydaje się być bardzo pomniejszone.