w książce Wytrzymałość materiałów tom 2 Siemieniec, Wolny znalazłem informacje o obliczaniu naprężeń i ugięcia płyt prostokątnych. Sposób przypomina ten używany przy liczeniu belek - naprężenia wyznacza się dzieląc maksymalny moment gnący przez wskaźnik wytrzymałości na zginanie zaś ugięcie jest obliczane z równania różniczkowego. Jest tam również przykład płyty podpartej swobodnie na dwóch krótszych bokach i poddanej działaniu obciążenia ciągłego. Przypadek, który mnie interesuje to płyta utwierdzona na jednym dłuższym boku (pozostałe krawędzie swobodne) i również poddana działaniu ciśnienia. Spróbowałem policzyć mój przykład tym sposobem, ale niestety wyniki zupełnie odbiegają od prawidłowych (wyznaczonych metodą elementów skończonych):
Ten przykład znalazłem nie w zbiorze zadań a w podręczniku „Wytrzymałość materiałów cz. II. Wybrane zagadnienia wytrzymałości materiałów” Wolny, Siemieniec. Mogę podesłać odpowiedni fragment. Chociaż może w zbiorze zadań też jest ten albo podobny przykład.
Z warunkw początkowych zauważam że poczatek układu współrzędnych est w utwierdzeniu, oś odcietych \(\displaystyle{ x}\) ma zwrot dodatni do brzegu płyty, zaś oś \(\displaystyle{ y}\) jest prostopadłą do niej i ma zwrot dodatni w dół.
Równanie linii ugięcia ma wtedy postać: \(\displaystyle{ w'' = - \frac{M_x}{D}}\) , gdzie \(\displaystyle{ M_x}\) jest mometem zginającym w przekroju o odciętej \(\displaystyle{ x}\) \(\displaystyle{ x}\) jest odciętą przekroju. \(\displaystyle{ M_x = M_u - R \cdot x + \frac{qx^2}{2} }\) \(\displaystyle{ M_u = \frac{ql^2}{2}}\) \(\displaystyle{ R=ql }\)
I teraz proszę napisać równanie i takie całkować.
Dodano po 1 minucie 51 sekundach:
Oczywista, prosze on fragment podesłać.
I teraz po podstawieniu \(\displaystyle{ a}\) do poprzedniego równania wychodzi \(\displaystyle{ Dw=0}\). To błąd w obliczeniach czy może złe warunki brzegowe ?
Naprężenia będą największe w utwierdzeniu dla \(\displaystyle{ x=0}\):
\(\displaystyle{ M_{x}=\frac{q a^{2}}{2}}\)
Wzór taki sam jak w moim pierwszym poście, tylko znak inny. Więc naprężenia też raczej wyjdą nieprawidłowe.
Fragment książki przesłałem w prywatnej wiadomości.
Obciążenie ciągłe \(\displaystyle{ q }\) zginające płytę ma wymiar \(\displaystyle{ N/m_{bieżący}}\), a nie \(\displaystyle{ Pa}\),
czyli jeżeli przyjąć powierzchnię płyty równą: \(\displaystyle{ 0,12 \ m \cdot 6 \ m = 0,72 m^2}\)
to na płytę działa równomiernie rozłożone obciążenie całkowite \(\displaystyle{ Q=0,72 \cdot 3 \cdot 10^4 N}\).
A na pasek o szerokośći \(\displaystyle{ 0,01 m }\) przypada \(\displaystyle{ 1/600}\) tego obciążenia. Wtedy na odcinek \(\displaystyle{ 0,01 m}\) długości "belki" \(\displaystyle{ q = \frac{0,72 \cdot 3 \cdot 10^4}{6 \cdot 10^2 \cdot 10^2} = 0,36 N/cm }\).
zatem "beleczka" o szerokości \(\displaystyle{ 1cm}\) wycięta wirtualnie z płyty jest obciążona obciążeniem ciągłym \(\displaystyle{ q}\) rozłożonym wzdłuż je długości, od utwierdzenia do brzegu, \(\displaystyle{ q = 0,36 {N/cm} }\).
I na takie obciążenie należałoby sprawdzić płytę z warunku wytrzymałości oraz obliczyć ugięcie swobodnego jej brzegu.
czyli daleko od wyników dla płyty liczonej metodą elementów skończonych: \(\displaystyle{ \sigma_{max}=124 \ MPa}\) oraz \(\displaystyle{ y_{max}=1.515 \ mm}\).
Dodano po 1 godzinie 5 minutach 50 sekundach:
Poprawka:
obciążenie ciągłe powinno tu wynosić nie \(\displaystyle{ 36 \ \frac{N}{m}}\), jak przyjąłem wcześniej, tylko:
kruszewski pisze: ↑7 paź 2020, o 11:45
Errata do posta. Powinno być:
"zatem "beleczka" o szerokości \(\displaystyle{ 1cm}\) wycięta wirtualnie z płyty jest obciążona obciążeniem ciągłym \(\displaystyle{ q}\) rozłożonym wzdłuż je długości, od utwierdzenia do brzegu, \(\displaystyle{ q = 0,30{N/cm} }\).
Może komuś jeszcze się to przyda, dlatego odświeżam temat: przeglądając „Zbiór zadań z wytrzymałości materiałów” Banasiak, Grossman, Trombski trafiłem na rozwiązanie problemu płyty wspornikowej z obciążeniem ciągłym. Jest tam wyprowadzenie wzorów (dodanych w moim wcześniejszym temacie o płytach wspornikowych na tym forum) wychodząc właśnie od równania różniczkowego ugięcia. Wprawdzie nie ma tam mowy o tym czy płyta jest utwierdzona na krótszej czy dłuższej krawędzi, ale może to nie ma znaczenia (wzory też nie uwzględniają szerokości płyty). W każdym razie, z tych wzorów wychodzą wartości bardzo bliskie MES-owskim (porównanie zrobiłem we wspomnianym drugim temacie o płytach), więc i wyprowadzenie powinno być prawidłowe.