Zginanie płyt prostokątnych - równanie różniczkowe ugięcia

[StudentIB]

Witam,

w książce Wytrzymałość materiałów tom 2 Siemieniec, Wolny znalazłem informacje o obliczaniu naprężeń i ugięcia płyt prostokątnych. Sposób przypomina ten używany przy liczeniu belek - naprężenia wyznacza się dzieląc maksymalny moment gnący przez wskaźnik wytrzymałości na zginanie zaś ugięcie jest obliczane z równania różniczkowego. Jest tam również przykład płyty podpartej swobodnie na dwóch krótszych bokach i poddanej działaniu obciążenia ciągłego. Przypadek, który mnie interesuje to płyta utwierdzona na jednym dłuższym boku (pozostałe krawędzie swobodne) i również poddana działaniu ciśnienia. Spróbowałem policzyć mój przykład tym sposobem, ale niestety wyniki zupełnie odbiegają od prawidłowych (wyznaczonych metodą elementów skończonych):

Schemat płyty:

Kod: Zaznacz cały

https://imgur.com/a/DLxLAvw

Dane: \(\displaystyle{ a=0.12 \ m}\), \(\displaystyle{ b=6 \ m}\), \(\displaystyle{ h=0.003 \ m}\), \(\displaystyle{ q=30000 \ Pa}\), \(\displaystyle{ E = 210000000000 \ Pa}\), \(\displaystyle{ \nu=0.3}\)

Ugięcie:

\(\displaystyle{ Dw^{\prime \prime}=-M(x)}\)

\(\displaystyle{ M_{x}=- \frac{q x^{2}}{2}}\)

\(\displaystyle{ D w^{\prime \prime}=\frac{q x^{2}}{2}}\)

\(\displaystyle{ D w^{\prime \prime}=\frac{q x^{3}}{6} + C_{1}}\)

\(\displaystyle{ D w= \frac{q x^{4}}{24} + C_{1}x + D_{1}}\)

Stałe całkowania wyznaczam z warunków brzegowych:

\(\displaystyle{ x=0 \Longrightarrow w=0 }\)
\(\displaystyle{ x=0 \Longrightarrow w^{\prime}=0}\)

\(\displaystyle{ C_{1}=0}\), \(\displaystyle{ D_{1}=0}\)

\(\displaystyle{ Dw=\frac{q x^{4}}{24}}\)

\(\displaystyle{ x=a \Longrightarrow w_{max}}\)

\(\displaystyle{ w_{max}=\frac{q a^{4}}{24D}}\)

\(\displaystyle{ D=\frac{E h^{3}}{12(1- \nu^{2})}}\)

\(\displaystyle{ D=\frac{210000000000 \cdot 0.003^{3}}{12(1- 0.3^{2})}=519.231}\)

\(\displaystyle{ w_{max}=\frac{30000 \cdot 0.12^{4}}{24 \cdot 519.231}=0.0004992 \ m}\)

Naprężenia:

\(\displaystyle{ M_{x \ max}=- \frac{q a^{2}}{2}}\)

\(\displaystyle{ \sigma_{x \ max}=\frac{M_{x}}{\frac{h^{3}}{12}}}\)

\(\displaystyle{ \sigma_{x \ max}=\frac{\frac{30000 \cdot 0.12^{2}}{2}}{\frac{0.003^{3}}{12}}=96000000000 \ Pa}\)

Gdzie może być błąd ? Przyjąłem złe warunki brzegowe ? Ta metoda nie nadaje się do takiej płyty ? A może to przez jednostki obciążenia ciągłego ?

[kruszewski]

Mam zbiór zadań Siemieniec + Lisowski. Zaglądne tu, może coś będzie.

[StudentIB]

Ten przykład znalazłem nie w zbiorze zadań a w podręczniku „Wytrzymałość materiałów cz. II. Wybrane zagadnienia wytrzymałości materiałów” Wolny, Siemieniec. Mogę podesłać odpowiedni fragment. Chociaż może w zbiorze zadań też jest ten albo podobny przykład.

[kruszewski]

Z warunkw początkowych zauważam że poczatek układu współrzędnych est w utwierdzeniu, oś odcietych \(\displaystyle{ x}\) ma zwrot dodatni do brzegu płyty, zaś oś \(\displaystyle{ y}\) jest prostopadłą do niej i ma zwrot dodatni w dół.
Równanie linii ugięcia ma wtedy postać:
\(\displaystyle{ w'' = - \frac{M_x}{D}}\) , gdzie
\(\displaystyle{ M_x}\) jest mometem zginającym w przekroju o odciętej \(\displaystyle{ x}\)
\(\displaystyle{ x}\) jest odciętą przekroju.
\(\displaystyle{ M_x = M_u - R \cdot x + \frac{qx^2}{2} }\)
\(\displaystyle{ M_u = \frac{ql^2}{2}}\)
\(\displaystyle{ R=ql }\)
I teraz proszę napisać równanie i takie całkować.

Dodano po 1 minucie 51 sekundach:
Oczywista, prosze on fragment podesłać.

[StudentIB]

Dziękuję, z tym równaniem momentu wychodzi:

\(\displaystyle{ M_{x}=\frac{qa^{2}}{2}-qax+ \frac{q x^{2}}{2}}\)

\(\displaystyle{ D w^{\prime \prime}=-M_{x}}\)

\(\displaystyle{ D w^{\prime \prime}=- \frac{qa^{2}}{2}+qax- \frac{q x^{2}}{2}}\)

\(\displaystyle{ D w^{\prime}=- \frac{qa^{2}x}{2}+ \frac{q a x^{2}}{2} - \frac{q x^{3}}{6}+C_{1}}\)

\(\displaystyle{ D w=- \frac{qa^{2}x^{2}}{4}+ \frac{q a x^{3}}{6} - \frac{q x^{4}}{24}+C_{1}x+D_{1}}\)

Warunki brzegowe:

\(\displaystyle{ x=0 \Longrightarrow w=0}\)

\(\displaystyle{ x=0 \Longrightarrow w^{\prime}=0}\)

\(\displaystyle{ C_{1}=\frac{qx \left( 3 a^{2} - 3ax + x^{2} \right) }{6}}\)

\(\displaystyle{ D_{1}=- \frac{q x^{2} \left( 6 a^{2} - 8ax + 3 x^{2} \right)}{24}}\)

\(\displaystyle{ Dw=- \frac{q a^{2} x^{2}}{4}+ \frac{q x^{2} \left( 3 a^{2} - 3ax + x^{2} \right)}{6}- \frac{qx^{2} \left( 6a^{2} - 8ax + 3x^{2} \right)}{24}+ \frac{qax^{3}}{6}- \frac{qx^{4}}{24}}\)

\(\displaystyle{ x=a \Longrightarrow w_{max}}\)

I teraz po podstawieniu \(\displaystyle{ a}\) do poprzedniego równania wychodzi \(\displaystyle{ Dw=0}\). To błąd w obliczeniach czy może złe warunki brzegowe ?

Naprężenia będą największe w utwierdzeniu dla \(\displaystyle{ x=0}\):

\(\displaystyle{ M_{x}=\frac{q a^{2}}{2}}\)

Wzór taki sam jak w moim pierwszym poście, tylko znak inny. Więc naprężenia też raczej wyjdą nieprawidłowe.

Fragment książki przesłałem w prywatnej wiadomości.

[kruszewski]

Obciążenie ciągłe \(\displaystyle{ q }\) zginające płytę ma wymiar \(\displaystyle{ N/m_{bieżący}}\), a nie \(\displaystyle{ Pa}\),
czyli jeżeli przyjąć powierzchnię płyty równą:
\(\displaystyle{ 0,12 \ m \cdot 6 \ m = 0,72 m^2}\)
to na płytę działa równomiernie rozłożone obciążenie całkowite \(\displaystyle{ Q=0,72 \cdot 3 \cdot 10^4 N}\).
A na pasek o szerokośći \(\displaystyle{ 0,01 m }\) przypada \(\displaystyle{ 1/600}\) tego obciążenia. Wtedy na odcinek \(\displaystyle{ 0,01 m}\) długości "belki" \(\displaystyle{ q = \frac{0,72 \cdot 3 \cdot 10^4}{6 \cdot 10^2 \cdot 10^2} = 0,36 N/cm }\).
zatem "beleczka" o szerokości \(\displaystyle{ 1cm}\) wycięta wirtualnie z płyty jest obciążona obciążeniem ciągłym \(\displaystyle{ q}\) rozłożonym wzdłuż je długości, od utwierdzenia do brzegu, \(\displaystyle{ q = 0,36 {N/cm} }\).
I na takie obciążenie należałoby sprawdzić płytę z warunku wytrzymałości oraz obliczyć ugięcie swobodnego jej brzegu.

( Do p. Moderatora, jak zapisać jednostki ?).

[StudentIB]

W ten sposób (teoria beleczek) wychodzi:

\(\displaystyle{ \sigma_{max}=\frac{\frac{qa^{2}}{2}}{\frac{bh^{2}}{6}}}\)

\(\displaystyle{ \sigma_{max}=\frac{\frac{36 \cdot 0.12^{2}}{2}}{\frac{0.01 \cdot 0.003^{2}}{6}}}\)

\(\displaystyle{ \sigma_{max}=17280000 \ Pa=17.28 \ MPa}\)

\(\displaystyle{ y_{max}=\frac{q a^{4}}{8E \cdot \frac{bh^{3}}{12}}}\)

\(\displaystyle{ y_{max}=\frac{36 \cdot 0.12^{4}}{8 \cdot 210000000000 \cdot \frac{0.01 \cdot 0.003^{3}}{12}}}\)

\(\displaystyle{ y_{max}=0.0001975 \ m=0.1975 \ mm}\)

czyli daleko od wyników dla płyty liczonej metodą elementów skończonych: \(\displaystyle{ \sigma_{max}=124 \ MPa}\) oraz \(\displaystyle{ y_{max}=1.515 \ mm}\).

Dodano po 1 godzinie 5 minutach 50 sekundach:
Poprawka:

obciążenie ciągłe powinno tu wynosić nie \(\displaystyle{ 36 \ \frac{N}{m}}\), jak przyjąłem wcześniej, tylko:

\(\displaystyle{ Q=0.72 \cdot 30000=21600 \ N}\)

\(\displaystyle{ \frac{21600}{600}=36 \ N}\)

\(\displaystyle{ q=\frac{36}{0.12}=300 \frac{N}{m}}\)

Wtedy wychodzi:

\(\displaystyle{ \sigma_{max}=144 \ MPa}\)

\(\displaystyle{ y_{max}=1.646 \ mm}\)

czyli dosyć blisko wyników z MES.

[kruszewski]

Errata do posta. Powinno być:
"zatem "beleczka" o szerokości \(\displaystyle{ 1cm}\) wycięta wirtualnie z płyty jest obciążona obciążeniem ciągłym \(\displaystyle{ q}\) rozłożonym wzdłuż je długości, od utwierdzenia do brzegu, \(\displaystyle{ q = 0,30{N/cm} }\).

Za pomyłkę przepraszam.
W.Kr.

[StudentIB]

Może komuś jeszcze się to przyda, dlatego odświeżam temat: przeglądając „Zbiór zadań z wytrzymałości materiałów” Banasiak, Grossman, Trombski trafiłem na rozwiązanie problemu płyty wspornikowej z obciążeniem ciągłym. Jest tam wyprowadzenie wzorów (dodanych w moim wcześniejszym temacie o płytach wspornikowych na tym forum) wychodząc właśnie od równania różniczkowego ugięcia. Wprawdzie nie ma tam mowy o tym czy płyta jest utwierdzona na krótszej czy dłuższej krawędzi, ale może to nie ma znaczenia (wzory też nie uwzględniają szerokości płyty). W każdym razie, z tych wzorów wychodzą wartości bardzo bliskie MES-owskim (porównanie zrobiłem we wspomnianym drugim temacie o płytach), więc i wyprowadzenie powinno być prawidłowe.