Wyboczenie termiczne

StudentIB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 440
Rejestracja: 9 lut 2015, o 13:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 38 razy

Wyboczenie termiczne

Post autor: StudentIB » 16 wrz 2020, o 12:04

Witam,

zastanawia mnie temat praktycznie niespotykany w polskiej literaturze - wyboczenie pod wpływem obciążeń termicznych (tzw. "thermal buckling"). Weźmy np. płytę prostokątną podpartą swobodnie. W książce "Teoria stateczności sprężystej" S. Timoshenko można znaleźć wzór na siłę krytyczną gdy taka płyta jest równomiernie ściskana w jednym kierunku (obciążenie przyłożone do krótszych boków):

\(\displaystyle{ N_{kr}=\frac{\pi^{2} D}{b^{2}} \left( \frac{b}{a}+ \frac{a}{b} \right)^{2}}\)

gdzie: \(\displaystyle{ D}\) - sztywność płyty na zginanie, \(\displaystyle{ b}\) - długość krótszego boku, \(\displaystyle{ a}\) - długość dłuższego boku.

Schemat płyty z książki: https://imgur.com/cPOs9fa

Co jednak w sytuacji gdy obciążenie ściskające zastąpimy blokadą przemieszczeń tych krawędzi w kierunku do nich prostopadłym a całą płytę podgrzejemy ? Czy da się wyznaczyć temperaturę krytyczną znając wsp. rozszerzalności liniowej ?

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6642
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1079 razy

Re: Wyboczenie termiczne

Post autor: kruszewski » 19 wrz 2020, o 21:41

Proszę popatrzeć na ten problem tak:
Płyta podgrzana rozszerza się wg znanego wzoru o przyrost długości w głównych kierunkach. Napiszmy ten przyrost długości jako wynik działania siły o tym kierunku i równomienie rozłożonej wzdłuż krawędzi płyty. Zauważa Kolega zachodzącą tu analogię?
\(\displaystyle{ \Delta l = \Delta t \cdot \alpha \cdot l }\)
Z prawa Hooka:
\(\displaystyle{ \Delta l = \frac{l \cdot F}{A \cdot E} }\)
Z przyównania mamy w wyniku wzór na siłę \(\displaystyle{ F}\) równomiernie rozłożoną wzdłuż brzegu płyty wywołującą ten efekt
przez podgrzewanie :
\(\displaystyle{ F = E \cdot A \cdot \alpha \Delta t}\)
Zauważamy, że siła ta nie zależy od długości płyty a jest proporcjonalna do przekroju poprzecznego \(\displaystyle{ A}\) prostopadłego do badanego kierunku, przyrostu temperatury \(\displaystyle{ \Delta t }\) , współczynnika rozszerzalności liniowej \(\displaystyle{ \alpha }\) materiału płyty i jego modułu sprężystości \(\displaystyle{ E}\) .
Zatem jak każdą płytę obciążoną siła ściskającą F i utwierdzoną wg podanego w zadaniu sposobu.

StudentIB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 440
Rejestracja: 9 lut 2015, o 13:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 38 razy

Re: Wyboczenie termiczne

Post autor: StudentIB » 19 wrz 2020, o 22:31

Dziękuję za odpowiedź. Tak myślałem, że można to zrobić w ten sposób. Po przekształceniu powinien powstać wzór jak poniżej, prawda ?

\(\displaystyle{ \Delta T=\frac{N_{kr}}{E \alpha A}}\)

Sprawdzałem ten wzór na przykładzie liczbowym (z dokumentacji programu do analiz numerycznych) i wyszło inaczej niż powinno:

płyta kwadratowa o boku długości \(\displaystyle{ b=2}\) i grubości \(\displaystyle{ t=0.01}\) wykonana z materiału o module Younga \(\displaystyle{ E=10^{8}}\), wsp. Poissona \(\displaystyle{ \nu=0.3}\) i wsp. rozszerzalności cieplnej \(\displaystyle{ \alpha=10^{-6}}\). Jednostki nie są używane w tym przykładzie (program z nich nie korzysta). Mi wyszło, że płytę trzeba podgrzać o \(\displaystyle{ \Delta T \approx 45 ^{\circ} C}\) tymczasem wynik podany w dokumentacji i wynikający z analizy to \(\displaystyle{ \Delta T \approx 93 ^{\circ} C}\), czyli tyle samo co siła krytyczna, która wychodzi ze wzoru Timoshenko dla „zwykłego” wyboczenia. Zastanawiam się z czego może wynikać ta różnica i jaka jest prawidłowa wartość różnicy temperatur.

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6642
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1079 razy

Re: Wyboczenie termiczne

Post autor: kruszewski » 19 wrz 2020, o 23:22

Stosunek sił oblicznych jak Kolega podaje dla \(\displaystyle{ \Delta t =45 K }\) i \(\displaystyle{ 93 K }\), sugeruje że może to wynikać ze sposobu podparcia (utwierdzenia) końców płyty.

StudentIB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 440
Rejestracja: 9 lut 2015, o 13:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 38 razy

Re: Wyboczenie termiczne

Post autor: StudentIB » 20 wrz 2020, o 09:42

Założenia (łącznie ze sposobem podparcia) powinny być takie same, ponieważ we wspomnianej dokumentacji jest wykorzystywany ten sam wzór z książki Timoshenko, z którego ja korzystam. Płyta jest swobodnie podparta. Więc wydaje się, że źródło tej różnicy leży gdzie indziej.

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6642
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 1079 razy

Re: Wyboczenie termiczne

Post autor: kruszewski » 20 wrz 2020, o 09:50

Byłoby pożytecznym dla tej dysksji zobaczyć te obliczenia, szkic do modelu obliczeniowego a może i fortografię tej strony z pracy S. Timoszenki.

StudentIB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 440
Rejestracja: 9 lut 2015, o 13:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 38 razy

Re: Wyboczenie termiczne

Post autor: StudentIB » 20 wrz 2020, o 10:53

Słusznie. Tuta jest ten przykład z dokumentacji wraz z danymi, wynikami i rysunkiem: https://abaqus-docs.mit.edu/2017/Englis ... eplate.htm

Omawiany fragment książki Timoshenko zaraz Panu wyślę w prywatnej wiadomości.

ODPOWIEDZ