Matematyka.pl

Dzień dobry, interesuje mnie następująca rzecz: czy dla figur nie posiadających osi symetrii możliwe jest analityczne wyznaczenie momentów dewiacji, czy ma ktoś może jakiś przykład jak taki moment dewiacji analitycznie wyznaczyć? Chodzi mi o to, żeby nie korzystać z twierdzenia Steinera a policzyć względem dowolnie obranego układu współrzędnych. Chciałbym wyprowadzić wzór dla trójkąta różnobocznego.

Trójkąt równoboczny ma trzy osie symetrii. Nie rozumiem pytania?

ciema7 pisze o trójkącie róŻnobocznym

Metoda całkowania

Rysunek dowolnego trójkąta, na przykład ostrokątnego o długości podstawy \(\displaystyle{ a }\) leżącej na osi \(\displaystyle{ Ox }\) - prostokątnego układu współrzędnych \(\displaystyle{ Oxy }\) i wysokości \(\displaystyle{ h. }\)

Moment bezwładności względem osi \(\displaystyle{ Ox }\)

\(\displaystyle{ I_{x} = \int_{0}^{h}y^2 dS \ \ (1) }\)

Na wysokości \(\displaystyle{ y }\) rysujemy prostokątny "pasek " o długości \(\displaystyle{ x }\) i infinimetyzalnej szerokości \(\displaystyle{ dy. }\)

Wtedy element powierzchniowy trójkąta jest równy

\(\displaystyle{ dS = xdy \ \ (2) }\)

Z podobieństwa trójkątów

\(\displaystyle{ \frac{x}{a} = \frac{h-y}{h}. }\)

Stąd

\(\displaystyle{ x = \frac{a}{h}(h - y) \ \ (3) }\)

Uwzględniając \(\displaystyle{ (2), (3) }\) i \(\displaystyle{ (1) }\)

\(\displaystyle{ I_{x} = \int_{0}^{h} y^2 x dx = \int_{0}^{h} y^2 \frac{a}{h}( h-y ) dy = \frac{a}{h} \left[ \frac{y^3}{h} - \frac{y^4}{4} \right]_{0}^{h} = \frac{a h^4}{h}\left(\frac{1}{3} -\frac{1}{4} \right) = \frac{a h^3}{12}.}\)

Dziekuje Janusz47, przetestuję i zobaczę czy wyjdzie taki wynik