Obliczanie momentów dewiacji

ciema7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 10 kwie 2018, o 08:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jarosław
Podziękował: 2 razy

Obliczanie momentów dewiacji

Post autor: ciema7 » 1 sie 2020, o 17:35

Dzień dobry, interesuje mnie następująca rzecz: czy dla figur nie posiadających osi symetrii możliwe jest analityczne wyznaczenie momentów dewiacji, czy ma ktoś może jakiś przykład jak taki moment dewiacji analitycznie wyznaczyć? Chodzi mi o to, żeby nie korzystać z twierdzenia Steinera a policzyć względem dowolnie obranego układu współrzędnych. Chciałbym wyprowadzić wzór dla trójkąta różnobocznego.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6301
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 1359 razy

Re: Obliczanie momentów dewiacji

Post autor: janusz47 » 2 sie 2020, o 16:26

Trójkąt równoboczny ma trzy osie symetrii. Nie rozumiem pytania?

Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3611
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 25 razy
Pomógł: 672 razy

Re: Obliczanie momentów dewiacji

Post autor: AiDi » 2 sie 2020, o 18:07

ciema7 pisze o trójkącie róŻnobocznym :wink:

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6301
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 13 razy
Pomógł: 1359 razy

Re: Obliczanie momentów dewiacji

Post autor: janusz47 » 2 sie 2020, o 19:57

Metoda całkowania

Rysunek dowolnego trójkąta, na przykład ostrokątnego o długości podstawy \(\displaystyle{ a }\) leżącej na osi \(\displaystyle{ Ox }\) - prostokątnego układu współrzędnych \(\displaystyle{ Oxy }\) i wysokości \(\displaystyle{ h. }\)

Moment bezwładności względem osi \(\displaystyle{ Ox }\)

\(\displaystyle{ I_{x} = \int_{0}^{h}y^2 dS \ \ (1) }\)

Na wysokości \(\displaystyle{ y }\) rysujemy prostokątny "pasek " o długości \(\displaystyle{ x }\) i infinimetyzalnej szerokości \(\displaystyle{ dy. }\)

Wtedy element powierzchniowy trójkąta jest równy

\(\displaystyle{ dS = xdy \ \ (2) }\)

Z podobieństwa trójkątów

\(\displaystyle{ \frac{x}{a} = \frac{h-y}{h}. }\)

Stąd

\(\displaystyle{ x = \frac{a}{h}(h - y) \ \ (3) }\)

Uwzględniając \(\displaystyle{ (2), (3) }\) i \(\displaystyle{ (1) }\)

\(\displaystyle{ I_{x} = \int_{0}^{h} y^2 x dx = \int_{0}^{h} y^2 \frac{a}{h}( h-y ) dy = \frac{a}{h} \left[ \frac{y^3}{h} - \frac{y^4}{4} \right]_{0}^{h} = \frac{a h^4}{h}\left(\frac{1}{3} -\frac{1}{4} \right) = \frac{a h^3}{12}.}\)

ciema7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7
Rejestracja: 10 kwie 2018, o 08:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jarosław
Podziękował: 2 razy

Re: Obliczanie momentów dewiacji

Post autor: ciema7 » 4 sie 2020, o 01:56

Dziekuje Janusz47, przetestuję i zobaczę czy wyjdzie taki wynik :)
Ostatnio zmieniony 4 sie 2020, o 10:39 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Po co cytujesz cały post, który jest tuż wyżej?

ODPOWIEDZ