Ściskanie tulei z kołnierzem

[StudentIB]

Witam,

w książce "Podstawy metody elementów skończonych – przykłady obliczeń numerycznych w programie Abaqus" (dostępna online:

Kod: Zaznacz cały

http://bc.pollub.pl/Content/12431/PDF/abaqus.pdf

) trafiłem na ciekawy przykład - ściskanej tulei z kołnierzem. Jest on omawiany na stronach 62-72. Wyniki analizy MES są tam weryfikowane za pomocą następujących obliczeń analitycznych:

W przypadku analizowanej ściskanej tulei naprężenia zredukowane na powierzchniach wewnętrznej oraz zewnętrznej wyznaczyć możemy podstawie hipotezy Hubera wg zależności:

- powierzchnia wewnętrzna tulei:

\(\displaystyle{ \sigma_{z,w}=p(\delta+1)}\)

- powierzchnia zewnętrzna tulei:

\(\displaystyle{ \sigma_{z,z}=p \sqrt{\delta^{2}- \delta +1}}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ p}\) - ciśnienie
\(\displaystyle{ \delta}\) - współczynnik geometryczny, \(\displaystyle{ \delta=\frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}}\), \(\displaystyle{ x=\frac{d_{w}}{d_{z}}}\)

Zastanawiam się jednak skąd takie obliczenia. Nie spotkałem się chyba jeszcze z tego typu wzorami. W tekście jest mowa o hipotezie Hubera, ale przecież ta hipoteza to tylko wzory na naprężenia zredukowane dla znanych składowych naprężeń. Tu natomiast są inne wzory z ciśnieniem i jakimś współczynnikiem geometrycznym. Czym jest ten współczynnik ? I przede wszystkim czy takie wzory można znaleźć w książkach do wytrzymałości materiałów ?

[kruszewski]

Proszę zauważyć, że wzory te wynikają z wzorów Lamego na naprężenia promieniowe i obwodowe, a naprężenia dopuszczalne wg przyjmowanej hipotezy wytężenia materiału, \(\displaystyle{ \sigma_{max}}\), \(\displaystyle{ \tau_{max}}\) lub \(\displaystyle{ \varepsilon_{max} }\).

[StudentIB]

Dziękuję za odpowiedź. Faktycznie taką tuleję można potraktować jako grubościenną rurę obciążoną ciśnieniem zewnętrznym. Z tym, że tu jest jeszcze kołnierz. Zastanawiam się czy podane wzory go uwzględniają. Bo jeśli nie to powinny odpowiadać zwykłym wzorom Lamego, wg których dla przypadku z samym ciśnieniem zewnętrznym naprężenia wynoszą:

- na zewnętrznej ściance:

\(\displaystyle{ \sigma_{r}=-p}\)

\(\displaystyle{ \sigma_{t}=\frac{p(r_{w}^{2}+r_{z}^{2})}{r_{w}^{2}-r_{z}^{2}}}\)

- na wewnętrznej ściance:

\(\displaystyle{ \sigma_{r}=0}\)

\(\displaystyle{ \sigma_{t}=-p \frac{2r_{z}^{2}}{r_{z}^{2}-r_{w}^{2}}}\)

Źródło:

Spróbowałem też policzyć naprężenia zredukowane. Wyszło mi:

- na zewnętrznej ściance:

\(\displaystyle{ \sigma_{red}=\sqrt{\frac{1}{2} \cdot (\sigma_{t}-\sigma_{z})^{2} \cdot (\sigma_{z}-\sigma_{r})^{2} \cdot (\sigma_{r}-\sigma_{t})^{2}}}\)

naprężenia osiowe \(\displaystyle{ \sigma_{z}}\) pomijamy, więc:

\(\displaystyle{ \sigma_{red}=\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \sigma_{t}^{2} \cdot (-\sigma_{r})^{2} \cdot (\sigma_{r}-\sigma_{t})^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left( \frac{p(r_{w}^{2}+r_{z}^{2})}{r_{w}^{2}-r_{z}^{2}} \right) ^{2} \cdot p^{2} \cdot \left( -p- \frac{p(r_{w}^{2}+r_{z}^{2})}{r_{w}^{2}-r_{z}^{2}} \right) ^{2}}}\)

- na wewnętrznej ściance:

\(\displaystyle{ \sigma_{red}=\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \sigma_{t}^{2} \cdot (-\sigma_{r})^{2} \cdot (\sigma_{r}-\sigma_{t})^{2}}=\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \left( -p \frac{2 r_{z}^{2}}{r_{z}^{2}-r_{w}^{2}} \right) ^{2} \cdot 0 \cdot \left(p \frac{2 r_{z}^{2}}{r_{z}^{2}-r_{w}^{2}} \right)^{2}}=0}\)

Wychodzi jednak zupełnie inaczej niż w tych wzorach z mojego pierwszego posta. I skąd tam ten współczynnik geometryczny ?

[StudentIB]

Pan Kruszewski podpowiedział mi, że wzór na napr. zredukowane, który stosowałem jest błędny. Powinien on mieć postać:

\(\displaystyle{ \displaystyle{ \sigma_{red}=\sqrt{\frac{1}{2} \left( (\sigma_{r} - \sigma_{t})^{2} + (\sigma_{t} - \sigma_{z})^{2} + (\sigma_{z} - \sigma_{r})^{2} \right)}}}\)

Korzystając z tego wzoru można tak przekształcić równania Lamego by miały postać jak w książce z przykładem tulejki. Zatem problem rozwiązany.