Naprężenia cieplne w rurze

[StudentIB]

Witam,

szukam wzorów na naprężenia cieplne promieniowe, obwodowe i osiowe w rurze grubościennej utwierdzonej na obu końcach. Są mi potrzebne do weryfikacji poprawności analizy numerycznej. Przejrzałem różne książki do wytrzymałości, ale nigdzie nie znalazłem takich wzorów. Naprężenia cieplne są w nich najczęściej omawiane tylko na przypadku jednowymiarowym pręta.

Z góry dziękuję za pomoc

[kruszewski]

Coś takiego?
Rura grubościena z utwierdzonymi końcami do grubych płyt ogrzana do temperatury wyższej o \(\displaystyle{ \Delta T}\) . Płyty nie zmieniają odległości i temperatury? Ciśnienie panujące w rurze nie ulga zmianie?
Czyli model rury ściskanej osiowo i rozpieranej promieniowo przy nie zmienionych grubościach ścianek i promieni w utwierdzeniu?

[StudentIB]

W analizie końce rury mają zablokowane przemieszczenia we wszystkich kierunkach, więc jest tak jakby rura była przymocowana do sztywnych, nieruchomych płyt. Rura faktycznie jest ogrzewana o \(\displaystyle{ \Delta T}\) a ciśnienie stałe. Są jakieś książki z takim przypadkiem ?

[kruszewski]

Czyli taka postać ale grubości rury podgrzanej będą już inne, trochę cieńsze bo na więszym obwodzie, ale chyba nie wiele i można zaryzykować przyjęcie niezmienionej grubości. Czy płyty nie są ogrzewane i średnica rury przy płycie ma temperaturę T_o , początkową? Czy ma wyższą o owe \(\displaystyle{ \ Delta T}\) ?
Z takim przypadkiem ogrzewania samej rury nie spotkałem się. W kotłach "utwierdzenie" też się ogrzewa i w tym przypadku najpewniej też tak będzie. Wtedy problem jest dużo prostszy, nawet powiedziałbym, że prosty.

[StudentIB]

Można przyjąć, że utwierdzenie też jest ogrzewane. W takim przypadku jakie będą wzory albo gdzie je znaleźć ?

[kruszewski]

Ogrzewając materię, tu materiał o postaci rury z zadanego tworzywa, wykonujemy nad nim pracę takę, jaka jest niezbędna do przyjęcia nowej postaci przedmiotu. Postawmy pytanie: jaką pracę trzeba wykonać by średnice zewnętrzna i wewnętrzna powiększyły się o przyrosty ścianek takie, jakie wynikają z ogrzewania cienkich rur o średnicach wewnetrznej i zewnętrznej rury przed ogrzaniem. Zapytajmy też o zmianę (czy zachodzi taka) grubości grubości ścianki. Znając te zmiany, postawmy kolejne pytanie. Jakie ciśnienie należy wywołać w rurze lub na jej zewnętrznej ścianie oby takie odkształcenia zaszły. Dla grubych rur odpowiedzi wypada chyba szukać w "zagadnieniu Lamego". Trzecim pytaniem jest ptyanie o naprężenia ściskające osiowe ale to już problem rozwiązywany w każdym zadaczniku. Suma naprężeń podobnie.

[StudentIB]

Przejrzałem jeszcze literaturę, którą mam i o dziwo w książkach śp. prof. Witolda Nowackiego (największego w Polsce specjalisty w dziedzinie termosprężystości) nic nie znalazłem na ten temat. Jest za to rozdział w podręcznikach "Teorii sprężystości" Timoshenki oraz "Mechanika materiałów i konstrukcji tom II" Bijaka-Żochowskiego. Wzory z tej drugiej książki na naprężenia kolejno promieniowe, obwodowe i osiowe mają postać:

\(\displaystyle{ \sigma_{r}(r)=\frac{-E \alpha (T_{a}-T_{b})}{2(1- \nu)}\left[ \frac{\ln(b/r)}{\ln(b/a)}- \frac{(b^{2}/r^{2}-1)}{(b^{2}/a^{2}-1)}\right] }\)

\(\displaystyle{ \sigma_{\theta}(r)=\frac{-E \alpha (T_{a}-T_{b})}{2(1- \nu)}\left[ \frac{\ln(b/r)-1}{\ln(b/a)}+ \frac{(b^{2}/r^{2}+1)}{(b^{2}/a^{2}-1)}\right] }\)

\(\displaystyle{ \sigma_{z}(r)=\nu (\sigma_{r}+ \sigma_{\theta})- \lambda E \Delta T}\)

gdzie: \(\displaystyle{ a}\) - promień wewnętrzny, \(\displaystyle{ b}\) - promień zewnętrzny, \(\displaystyle{ T_{a}}\) - temperatura wewnętrzna, \(\displaystyle{ T_{b}}\) - temperatura zewnętrzna

Z przedstawionego w książce wykresu można wywnioskować, że maksymalne naprężenia obwodowe i osiowe występują dla \(\displaystyle{ r=a}\) i \(\displaystyle{ r=b}\). Z kolei naprężenia promieniowe są największe w połowie grubości ścianki. Potwierdzają to dodatkowo informacje przedstawione w podręczniku Timoshenki.

Dodano po 2 dniach 22 godzinach 50 minutach 20 sekundach:
Edit: Dzięki Panu Kruszewskiemu okazało się, że w książce Bijaka-Żochowskiego jest błąd. We wzorze na naprężenia osiowe powinien być wsp. rozszerzalności liniowej \(\displaystyle{ \alpha}\) a nie przewodność cieplna \(\displaystyle{ \lambda}\). Zatem wzór ten powinien mieć postać:

\(\displaystyle{ \sigma_{z}(r)=\nu (\sigma_{r}+ \sigma_{\theta})- \alpha E \Delta T}\)

Dodam jeszcze, bo wcześniej to pominąłem, że \(\displaystyle{ \Delta T}\) potrzebne w tym wzorze należy wcześniej wyliczyć z:

\(\displaystyle{ \Delta T(r)=\left( T_{a}+ \frac{T_{b}-T_{a}}{\ln{(b/a)}} \cdot \ln{(r/a)} \right) - T_{ref} }\)

\(\displaystyle{ T_{ref}}\) - temperatura referencyjna, równa \(\displaystyle{ T_{b}}\)