Cześć mam problem z zadaniem obliczania momentu bezwładności z kołem. Trzeba wyznaczyć środek
ciężkości \(\displaystyle{ y_{c}}\), obliczyć \(\displaystyle{ I_{x}}\) i \(\displaystyle{ I_{xc}}\). Oś x mogę przyjąć dowolnie, zazwyczaj przyjmuję tak jak na rysunku \(\displaystyle{ x_{1}}\) lub \(\displaystyle{ x_{2}}\), ale można też przyjąć \(\displaystyle{ x_{3}}\). Na początek chciałam zapytać czy lepiej przyjąć oś x tak jak \(\displaystyle{ x_{1}}\) lub \(\displaystyle{ x_{2}}\) czy \(\displaystyle{ x_{3}}\) ?
Na początek przyjmujesz osie \(\displaystyle{ y}\) i \(\displaystyle{ x_{3}}\). Środek ciężkości wiadomo gdzie jest - na ich przecięciu (w środku otworu). Moment bezwładności względem tych osi liczysz odejmując od momentu bezwł. prostokąta danego wzorem \(\displaystyle{ \frac{bh^{3}}{12}}\) moment bezwładności koła \(\displaystyle{ \frac{\pi r^{4}}{4}}\). Żeby obliczyć moment bezwładności względem pozostałych osi \(\displaystyle{ x_{1}}\) i \(\displaystyle{ x_{2}}\) musisz skorzystać z twierdzenia Steinera. W tym celu do wyznaczonego już momentu bezwładności wzgl. osi \(\displaystyle{ x_{3}}\) dodajesz iloczyn pola figury i kwadratu odległości między osiami.
\(\displaystyle{ x_{c}}\) to oś przechodząca przez środek ciężkości figury, czyli u Ciebie \(\displaystyle{ x_{3}}\). Więc masz już ten moment bezwładności i możesz jedynie policzyć momenty bezwł. względem pozostałych 2 osi.
aaa ok, a jeszcze takie pytanie mam chodzi mi o ten środek ciężkości bo normalnie jak przyjmowałem oś x np. u podstawy to liczyłem środek ciężkości \(\displaystyle{ y_{c}}\) i zaznaczałem na rysunku C, a jak przyjąłem oś x na środku koła, także na środku prostokąta to \(\displaystyle{ C=( x_{c},y_{c})=(0,2a)}\) ?
1. Przyjęte oznaczenie współrzędnych środka ciężkości figury(punktu C): \(\displaystyle{ C ( x _{c}, y _{c})}\)
2.Osie środkowe przechodzące przez środek ciężkości oznaczymy jako :\(\displaystyle{ x _{c} , y _{c}}\)
3. Momenty bezwładności figury wzgl osi środkowych oznaczymy symbolami
wzgl. osi \(\displaystyle{ x _{c}}\)- \(\displaystyle{ J _{xc}}\), wzgl. osi \(\displaystyle{ y _{c} - J _{yc}}\)
.....................................................
Obl. osiowy moment bezwładności wzgl osi \(\displaystyle{ x _{1} \Rightarrow J _{x1}}\) stosujemy tw Steinera , bowiem osie : środkowa \(\displaystyle{ x _{3}}\) i oś \(\displaystyle{ x _{1}}\) są do siebie równoległe i oddalone od siebie o wartość \(\displaystyle{ 2a.}\)
W tego typu zadaniach należy zacząć od przyjęcia dowolnego układu współrzędnych. Jeśli figura ma choć 1 oś symetrii to z niej korzystamy, bo wiadomo, że na tej osi leży środek ciężkości (2 osie symetrii = środek ciężkości na ich przecięciu). Potem wyznaczamy współrzędne środka ciężkości w tym układzie współrzędnych. Tutaj mamy 2 osie symetrii i widzimy od razu gdzie jest środek ciężkości, więc nie musimy określać jego lokalizacji - znajduje się w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\) przyjętego układu współrzędnych.
\(\displaystyle{ y_{c}= \frac{ 12a^{2} \cdot 2a- \pi a^{2} \cdot 1,5a }{12a^{2}-\pi a^{2}}}\) i jak tu najlepiej liczyć, zamienić \(\displaystyle{ \pi}\) na 3,14 czy jak ?
