Obliczenie ugięcia rury

[hhh fff]

Drodzy matematycy/fizycy,

Mam prośbę o wsparcie w obliczeniach - robię mały remont i buduję trochę niestandardowe elementy w mieszkaniu. Potrzebuję zakupić rurę o długości 270 cm, podpartą wspornikami jedynie na jej końcach, która się nie ugnie (albo ugięcie będzie minimalne). Maksymalne obciążenie rury na jej środku to 5 kg + masa rury. Zakładałem że kupię rurę ze stali nierdzewnej o takich parametrach:
fi 25 mm
grubość ścianki rury 2 mm
Gatunek rury: AISI 304 , 1.4301 , 0H18N9 (stal nierdzewna)
Waga 1 mb: 1,16 kg
długość rury: 270 cm

Czy ktoś z was znalazłby chwilę by obliczyć czy/o ile taka rura się ugnie przy tym 5 kg ciężarze przyłożonym dokładnie na jej środku? Nie jestem w stanie samodzielnie tego skalkulować, matematykę zakończyłem na etapie liceum, stąd złożone wzory mi nie pomogą, nie wiem też gdzie szukać danych o wytrzymałości rur.
Z góry dziękuję za pomoc.-- 8 sie 2019, o 12:58 --Dopiszę może jeszcze dla wygody co może być pomocne, to jak rozumiem jest specyfikacja takiej rury
Własności mechaniczne 1.4301/1.4307, X5CrNi18-10 / X2CrNi18-9, AISI 304/304L:
Wytrzymałość na rozciąganie, Rm: 460 - 700 N/mm2
Granica plastyczności, Rp0,2: >190 N/mm2
Wydłużenie, A: >45% Udarność, KV: >60J
Moduł sprężystości, E: 200 GPa
Twardość, HB: <215
Współczynnik rozszerzalności cieplnej, α: 16,0 * 10-6 K-1
Pojemność cieplna, cp20℃: 500 J * kg-1 * K-1
Przewodność cieplna, λ: 15 W * m-1 * K-1
Opór właściwy, Ω: 0,73 mkOhm*m

[StudentIB]

Można to bez problemu policzyć ręcznie, ale szybka analiza MES pokazuje naprężenia zredukowane 51 MPa i ugięcie 14.74 mm.

[hhh fff]

Dziękuję bardzo!

Wzory - jeśli możesz to chętnie, może przy analogicznym przypadku następnym razem poradzę już sobie sam -- 8 sie 2019, o 14:02 --Zaświtało mi jeszcze jedno pytanie, czy skalkulowane przez ciebie ugięcie ~15mm, to ugięcie które powinno pojawić się od razu po przyłożeniu ciężaru, czy to maksymalne ugięcie które pojawi się po jakimś okresie czasu. Nigdy nie uczyłem się o materiałach, ale zakładam że im dłużej działa siła tym ugięcie się pogłębia? Mógłbyś w kilku słowach skomentować?

[StudentIB]

Zarówno analizy MES w swojej podstawowej postaci jak i obliczenia, które można zrobić ręcznie bazują na założeniu liniowej sprężystości materiału. Przyjmuje się też, że obciążenie jest statyczne. Zatem wyniki pokazują co się stanie od razu po przyłożeniu obciążenia. Żeby poznać wpływ czasu (zmęczenie gdy obciążenie zmienia się cyklicznie lub pełzanie gdy jest stałe) należałoby użyć zaawansowanych programów do analiz MES i przede wszystkim znać trudne do odnalezienia, bo wymagające długich testów, dane materiałowe (krzywe zmęczeniowe lub dane do modeli pełzania).

Wzory zamieszczę w wolnej chwili.-- 8 sie 2019, o 19:47 --A teraz obiecane wzory. Mamy tu przypadek belki o przekroju rurowym swobodnie podpartej z obciążeniem ciągłym (ciężar własny) i siłą skupioną na środku. Niestety nie ma w literaturze gotowych wzorów dla takich belek, ale można je wyprowadzić licząc belkę od początku do końca znanymi w wytrzymałości materiałów metodami. Najpierw należy wyznaczyć maksymalny moment gnący a z tego maksymalne naprężenia od zginania. Podobny przypadek (ale z siłą działającą w dół co dużo zmienia) jest w książce "Wyznaczanie sił tnących i momentów zginających w belkach" Iwulskiego. Ostateczny wzór na maksymalne naprężenia to:

\(\displaystyle{ \sigma_{max}=\frac{M_{max}}{W_{z}}=\frac{0.125L(2F+qL)}{\frac{\pi \cdot (D^{4}-d^{4})}{32D}}}\)

Natomiast wyznaczenie wzoru na ugięcie belki wymaga użycia jednej ze specjalnych metod. Ja użyłem metody Castigliano. Ostateczny wzór na maksymalne ugięcie tej belki to:

\(\displaystyle{ y_{max}=\frac{2 \cdot (0.0104167 \cdot F L^{3}+0.00651042 \cdot q L^{4})}{EI}=\frac{2 \cdot (0.0104167 \cdot F L^{3}+0.00651042 \cdot q L^{4})}{E \cdot \frac {\pi (D^{4}-d^{4})}{64}}}\)

Obciążenie ciągłe \(\displaystyle{ q}\) od ciężaru własnego belki można wyliczyć ze wzoru:

\(\displaystyle{ q=\frac{\rho g (P \cdot L)}{L}=7.85 \cdot \rho \cdot (D^{2}-d^{2})}\)

gdzie: \(\displaystyle{ g}\) - przyspieszenie ziemskie, \(\displaystyle{ P}\) - pole przekroju poprzecznego belki, \(\displaystyle{ \rho}\) - gęstość materiału, \(\displaystyle{ D}\) - średnica zewnętrzna przekroju rurowego, \(\displaystyle{ d}\) - średnica wewnętrzna przekroju rurowego, \(\displaystyle{ F}\) - siła skupiona, \(\displaystyle{ L}\) - długość belki, \(\displaystyle{ E}\) - moduł Younga, \(\displaystyle{ I}\) - geometryczny moment bezwładności przekroju.

Po podstawieniu danych wychodzi bardzo podobnie jak w analizie MES.

[kruszewski]

Rura jest tu belką swobodnie opartą(czy tak?) na dwu podporach.
Belka jest obciążona dwoma niezależnymi od siebie obciążeniami: siłą skupioną \(\displaystyle{ P}\) przyłożoną w połowie rozpiętości przęsła i obciążeniem ciągłym ciężaru belki q .
Ugięcie belki można więc traktować jako sumę ugięć (superpozycja) obu obciążeń.
Ugięcia te w połowie rozpiętości przęsła są stablicowane:

\(\displaystyle{ f_P = \frac{Pl^3}{48 EJ}}\), oraz \(\displaystyle{ f_q = \frac{ql^4}{384 EJ}}\)

\(\displaystyle{ f_{ \frac{l}{2} } = f_P + f_q}\)

\(\displaystyle{ J = \frac{ \pi (D^4 -d^4)}{64}}\)

Proszę podstawić wartości liczbowe z ich jednostkami fizycznymi i obliczyć wynik. Koniecznie "obliczyć" jednostkę wartości wyniku.
Z pobieżnego rachunku jest \(\displaystyle{ f= 1,3}\) cm (ale proszę sprawdzić! )

Tu najlepiej zastosować równanie różniczkowe linii ugięcia belki w powszechnie używanej formule

\(\displaystyle{ y'' = - \frac{M}{EJ}}\) a stała całkowania są zerami co widać wprost.
Ale po co, jeżeli wzory są stablicowane.

[StudentIB]

Zgadza się. Mi wyszło ok. \(\displaystyle{ 1.4 \ cm}\) ze wzorów, które przed chwilą dodałem. Analiza MES dała bardzo zbliżony wynik.