Matematyka.pl

Cześć, potrzebuję pomocy z zadankiem z wytrzymałości materiałów :

Obliczyć dopuszczalną wartość siły \(\displaystyle{ P}\) z warunku
bezpieczeństwa dla pręta mimośrodowo ściskanego,
pokazanego na rys.4.1 . Dane: \(\displaystyle{ d, k_r, k_c=5k_r}\).
Rysunek:
To wszystko co udało mi się dokonać do tej pory:

Moment bezwładności:
\(\displaystyle{ I_x= \frac{bh^3}{12}\\
I_y= \frac{hb^3}{12}}\)
\(\displaystyle{ I}\) - moment bezw. własny + Tw. Steinera
\(\displaystyle{ I=\frac{hb^3}{12}+\frac{bh^3}{12}+A \cdot d^2}\)

Ściskanie mimośrodowe:

\(\displaystyle{ \sigma_{xy}=\frac{P}{A}+\frac{M_x}{I_x} \cdot y-\frac{M_y}{I_y} \cdot x}\)
Moment zginający przekrój:
\(\displaystyle{ M_x=-P \cdot u\\
M_y=P \cdot v}\)

Przy ściskaniu mimośrodowym jest jeszcze kwestia rdzenia przekroju. Dla przekroju kołowego rdzeń też jest zawarty w kole. Promień tego koła można wyznaczyć z odpowiedniego wzoru. Polecam książkę "Wytrzymałość materiałów" Zielnicy. Tam jest to bardzo dobrze opisane, razem z dosyć podobnym przykładem. Wprawdzie tam liczą pręt o przekroju prostokątnym (nie znalazłem w książkach takiego samego zadania jak Twoje), ale wcześniej podana jest teoria również do kołowego (wspomniany wzór na promień rdzenia przekroju).

Nie, nie. Znajomość konturu rdzenia przekroju jest potrzebna do określenia miejsca przyłożenia siły w przekroju poprzecznym ściskanego słupa by naprężenia wywołane były jednakowego znaku na całym przekroju (w każdym jego punkcie).

Tak, wiem. Ale czy to nie jest taki dodatkowy wymóg w zadaniach ze ściskania mimośrodowego ? Wydaje mi się, że zwykle prowadzący, oprócz obliczenia malsymalnych naprężeń, oczekują wyliczenia tego rdzenia przekroju. Nawet jeśli nie jest to wprost podane w treści zadania. Przynajmniej u mnie na uczelni tak było.

W tym wypadku muszę policzyć tylko to co jest zadane, bez dodatkowych obliczeń

Superpozycja skutków jest tu superpozyją ich przyczyn.
Z zażenowaniem podaję link do tematu o takm ściskaniu.
... rodowe.pdf-- 26 gru 2018, o 22:47 --

StudentIB pisze:Tak, wiem. Ale czy to nie jest taki dodatkowy wymóg w zadaniach ze ściskania mimośrodowego ? Wydaje mi się, że zwykle prowadzący, oprócz obliczenia malsymalnych naprężeń, oczekują wyliczenia tego rdzenia przekroju. Nawet jeśli nie jest to wprost podane w treści zadania. Przynajmniej u mnie na uczelni tak było.

Oczekuje obliczenia naprężeń i niczego więcej. Rdzeń przekroju jest pojęciem geometrycznym i do jego wyznaczenia nie jest potrzebne nic więcej iż przekrój. Wyznacza się go po to, aby niefortunnie przyłożonymi siłami normalnymi do przekroju słupa nie wywoływać jego zginania. (powodować jego skłonność do wyboczenia).

Zauważamy, że obciążenie - siła P nie działa w osi słupa, a jest przesunięta o wartość tkzw. mimośrodu wynoszącego : \(\displaystyle{ 0,25 d.}\), a więc nie jest to przypadek wytrz.- ściskania osiowego!.

Proponuję dokonać zabiegu dydaktycznego, który znakomicie ułatwi zrozumienie obciążenia słupa.
Wprowadźmy do osi słupa dwie siły o jednakowych wartościach równych sile P, przeciwnych zwrotach i kierunku siły danej, tkzw. dwójkę zerową. Patrz rys.
/Nie zmienia ona obciążenia słupa!/
Teraz widzimy jaki obciążeniom, a i naprężeniom podlega słup.
Słup jest jednocześnie ściskany od siły osiowej P i zginany od pary sił( P,-P).
Uwaga
Zakładamy, że słup ma małą wysokość w stosunku do wymiarów poprzecznych, nie jest tkzw. słupem smukłym.
......................................................................
1. Naprężenia ściskające- rys.2 ( umowa co do znaku napr.- ujemne) od siły P działającej w osi słupa określimy jako:
\(\displaystyle{ \sigma _{cAB}=- \frac{P}{S}=- \frac{4P}{ \pi d ^{2} }}\)
\(\displaystyle{ S= \frac{ \pi d ^{2} }{4}}\)- pole przekroju poprzecznego słupa
2. Naprężenia zginające od pary sił( P, -P)- rys.3.
\(\displaystyle{ \sigma _{gAB}= \pm \frac{M _{g} }{W _{x} }= \pm \frac{32P \cdot 0,25d}{ \pi d ^{3} }}\)
-moment zginający:
\(\displaystyle{ M _{g}=P \cdot 0,25d}\)
- wskaźnik osiowy przekroju
\(\displaystyle{ W _{x}= \frac{ \pi d ^{3} }{32}}\)
/Znak naprężeń dodatni dla warstwy rozciąganej i ujemny dla warstwy ściskanej./
3. Naprężenia zastępcze- złożone w warstwie rozciąganej słupa- p.A
\(\displaystyle{ \sigma _{zA} =-\sigma _{cA}+\sigma _{gA}}\),
\(\displaystyle{ \sigma _{zA}= - \frac{4P}{ \pi d ^{2} }+\frac{32P \cdot 0,25d}{ \pi d ^{3} }=+1,27\frac{P}{d ^{2} }}\), (1)
4. Naprężenia zastępcze- złożone w warstwie ściskanej słupa- p.B
\(\displaystyle{ \sigma _{zB} =-\sigma _{cA}-\sigma _{gA}}\),
\(\displaystyle{ \sigma _{zB}= - \frac{4P}{ \pi d ^{2} }-\frac{32P \cdot 0,25d}{ \pi d ^{3} }=-3,82 \frac{P}{d ^{2} }}\), (2)
/Naprężenia wolno dodać wprost , bo są tego samego rodzaju- normalne!/
....................................................
5.Warunek bezpiecznych naprężeń( największe w warstwie ściskanej), z którego obliczamy bezpieczne obciążenie- siłę \(\displaystyle{ P}\)
\(\displaystyle{ \sigma _{zB} \le k _{c}}\), (3)
/Naprężenia rzeczywiste \(\displaystyle{ \sigma _{zB}}\) muszą być mniejsze od dopuszczalnych \(\displaystyle{ k _{c}}\)/
Ostatecznie otrzymujemy zależność:

\(\displaystyle{ P \le \frac{d ^{2} \cdot k _{c} }{3,82}}\),(3)
................................................
Proszę spróbować samodzielnie wykreślić naprężenia zastępcze w warstwach słupa - sumujemy wektory naprężeń pamiętając o umowie co do ich znaku.