Ściskanie pierścienia kołowego

[StudentIB]

Właśnie niestety nie mechanikę a inżynierię biomedyczną (kończę już II stopień). Wytrzymałość miałem tylko 1 semestr, więc mocno okrojoną - pręty, momenty bezwładności, skręcanie, zginanie i wytrzymałość złożona. Żadnych ram, belek na podłożu sprężystym, stateczności, metod energetycznych ani takich właśnie prętów zakrzywionych. Dlatego staram się jak najwięcej nadrobić z tych braków i próbuję swoich sił z różnymi ciekawymi zagadnieniami.

[kruszewski]

wstawiam co obiecałem

[StudentIB]

Dziękuję za rysunek. Czyli chcąc wyznaczyć maksymalne naprężenia muszę najpierw obliczyć promień krzywizny warstwy obojętnej ze wzoru dla przekroju prostokątnego, następnie wyliczyć \(\displaystyle{ e}\) jako odległość między tym promieniem krzywizny a promieniem dochodzącym do środka pręta i na koniec wyznaczyć \(\displaystyle{ y}\). Skoro maksymalne naprężenia są na samym dole to \(\displaystyle{ y}\) będzie równe odległości między promieniem krzywizny a promieniem wewnętrznym pierścienia.

Zgadza się ?

A co w kwestii przemieszczeń ?

[kruszewski]

Nie, bo krzywą
\(\displaystyle{ \sigma = \sigma(y)}\) jest hiperbola .
Ma Pan może Wytrzymałość pp. E, i T. Niezgodzińskich? z 1998 roku. Jak tak, to str. 197 i kilka dalej.

[StudentIB]

Mam ten podręcznik, ale tam jest tylko napisane, że "naprężenia w zginanym pręcie zakrzywionym zmieniają się wg hiperboli jako funkcja odległości \(\displaystyle{ y}\) od warstwy obojętnej (…). Asymptota tej hiperboli jest prostopadła do danego przekroju i przechodzi przez środek krzywizny \(\displaystyle{ O_{1}}\), hiperbola zaś przecina oś obojętną w punkcie \(\displaystyle{ B}\)."

Zajrzałem też do książki Bielajewa (wydanie II z 1956 - str. 533, 536-540) i z niej (oraz w mniejszym stopniu z zadań w zbiorze Niezgodzińskich) wynika, że szukając naprężeń maksymalnych do warunku wytrzymałościowego należy wyznaczyć naprężenia dla najbardziej oddalonych od osi obojętnej punktów przekroju (skrajne włókna zewnętrzne i wewnętrzne). Może jest to uproszczenie, ale wynika z tego, że tak się to w praktyce liczy. Czyli tak jak chciałem zrobić plus jeszcze górna część pierścienia (\(\displaystyle{ y}\) - odległość między promieniem krzywizny a promieniem zewnętrznym pierścienia). Możliwe, że tak jest czy coś źle zrozumiałem ?

[kruszewski]

Jaka jest treść zadnia, ta docelowa, czy ściskanie pierścienia czy ściskanie długiej rurki naciskając na nią czymś tam szerokim na \(\displaystyle{ b}\) mm ? Bo wówczas jest to zupełnie inne zadanie.
Skąd to zadanie?-- 26 maja 2018, o 15:51 --Mam "Bielajewa" na cyrylicy. Zatem odsyłanie -nie wg strony a numeru rozdziału, paragrafu.

[StudentIB]

To nie jest absolutnie zadanie akademickie ani z jakiejś książki czy innego źródła. Chodzi o problem praktyczny - kolega zadał pytanie czy rura o takich wymiarach wytrzyma ściskanie określoną siłą za pomocą jakiegoś narzędzia (szczypiec czy jak to można inaczej nazwać). Mocno mnie zaciekawił ten problem i postanowiłem dowiedzieć się jak to można ręcznie rozwiązać, przy okazji poszerzając swoją wiedzę. Robiłem też analizy MES i chcę sprawdzić ich poprawność (zwłaszcza, że próbowałem różnych sposobów zamodelowania tego). Myślałem, że łatwiej to policzyć (i byłoby łatwo gdyby nie to, że mamy do czynienia z prętem krępym), ale i tak chciałbym spróbować.

A co do Bielajewa to chodzi o rozdział XXXI. Pręty zakrzywione, paragraf 191. Analiza wzoru na naprężenia normalne w pręcie zakrzywionym i 192 (uwagi do tego wzoru) oraz 193 (przykłady).

[kruszewski]

Zacząłem czytać i muszę poprosić Pana o konkretne zapytania - pytania. Wzory dla mnie są jasne i wytłumaczone dostatecznie. Stąd nie wiem co powinienem objaśnić, wyjaśnić. Proszę napiać wszystkie niepewności , nawet dodać fotografie z zaznaczeniem. kreska, kółko, miejsc niejasnych. Czy to problem w napisie:

\(\displaystyle{ \sigma _{1,2}= \frac{N}{F} \pm \frac{M}{S} \cdot \frac{z_{1,2}}{R_{1,2}} \le \sigma _{dop}}\)

określającym naprężenia w skrajnych włóknach odległch o z od warstwy obojętnej które to warstwy mają krzywizny o promieniach odpowiednich R , zewnętrznego i wewnętrznego.

[StudentIB]

Uznałem, że najprościej będzie jeśli policzę to tak jak rozumiem informacje z książek i Pan mi powie czy dobrze to zrobiłem.

A więc od początku:

Mamy rurę o średnicy zewnętrznej \(\displaystyle{ 9 mm}\)i wewnętrznej \(\displaystyle{ 4,7 mm}\)obciążoną siłą \(\displaystyle{ 13600 N}\). Zgodnie z książką Niezgodzińskich ("Wzory, wykresy i tablice wytrzymałościowe") jest to pręt silnie zakrzywiony, ponieważ spełnia warunek:

\(\displaystyle{ \frac{h}{r_{c}}>\frac{1}{5}}\)

\(\displaystyle{ \frac{2,15}{3,425}>\frac{1}{5}}\)

\(\displaystyle{ 0,63>0,2}\)

gdzie \(\displaystyle{ h}\) - wysokość przekroju poprzecznego, \(\displaystyle{ r_{c}}\) - promień do środka pręta

Dalej obliczamy promień krzywizny warstwy obojętnej dla przekroju prostokątnego:

\(\displaystyle{ r=\frac{h}{\ln \frac{r_{2}}{r_{1}}}}\)

\(\displaystyle{ r=\frac{2,15}{\ln \frac{4,5}{2,35}}=3,31 mm}\)

gdzie: \(\displaystyle{ r_{2}}\) - promień zewnętrzny, \(\displaystyle{ r_{1}}\) - promień wewnętrzny (zgodnie ze schematem, który dołączyłem do jednego z postów na poprzedniej stronie)

Teraz wyznaczam naprężenia maksymalne zw wzoru podanego w książce Bielajewa:

\(\displaystyle{ \sigma _{1,2}= \frac{N}{F} \pm \frac{M}{S} \cdot \frac{z_{1,2}}{R_{1,2}}}\)

W skrajnym zewnętrznym włóknie:

\(\displaystyle{ \sigma_{1}=\frac{13600}{2,15 \cdot 40} - \frac{6800 \cdot 3,425}{2,15 \cdot 40 \cdot (3,425-3,31)} \cdot \frac{1,075+0,115}{4,5}= - 464,602 \ MPa}\)

W skrajnym wewnętrznym włóknie:

\(\displaystyle{ \sigma_{2}=\frac{13600}{2,15 \cdot 40} + \frac{6800 \cdot 3,425}{2,15 \cdot 40 \cdot (3,425-3,31)} \cdot \frac{1,075-0,115}{2,35}= - 803,864 \ MPa}\)

Zakładam takie pole przekroju \(\displaystyle{ F}\), bo wprawdzie nie znam szerokości pręta zakrzywionego (to jest fragment rury), ale przyjmuję, że szczypce czy inne narzędzie wywierają nacisk na taką jej część.
Miałem problem z określeniem momentu, bo siła leży dokładnie nad miejscem, gdzie występują największe naprężenia (górna część pręta), ale uznałem, że upraszczamy ten pierścień kołowy do jego połówki z utwierdzeniami w miejscu przecięcia (podobnie jak na Pana schemacie z wczoraj) i moment wywołuje reakcja pionowa z utwierdzenia równa połowie siły przyłożonej do pręta, którą mnożymy przez promień do środka pręta. To jedyne co mi przyszło do głowy, chociaż pewnie nie mam racji (trzeba raczej założyć 2 utwierdzenia a wtedy reakcje kręcą górą pręta w przeciwne strony i się zerują).

Uprzejmie proszę o sprawdzenie czy tak jest dobrze a jeśli zrobiłem błąd to co muszę poprawić. Później chciałbym przejść do przemieszczeń/odkształceń, ale na razie najważniejsze jest wyznaczenie naprężeń maksymalnych.

[kruszewski]

Formalne oblczenia są poprawne. Wyniki talie jakie wynikają z geometrii pierścienia i przyłożonego obciążenia. Zgniatanie ścianki rurki w całym przekroju. Ale to jest wynikiem małych rozmiarów pierścionka a dużego obciążenia, stąd dominujący udział ścikskania. Proszę zauważyć, wartości naprężeń, są duże, ( dla wyobrażenia to nacisk załadowanej średniotonowej ciężarówki (np. Star 28) na 12 milimetrowy pręt posdpierający auto z kołami nad zienią). Ale jak powiadają kasa się zgadza i o audyt można być spokojnym.

[StudentIB]

Dziękuję serdecznie. Chciałbym jeszcze spróbować policzyć przemieszczenie (np. w pionie punktu przyłożenia siły). Przeglądając wszystkie książki jakie mam znalazłem tylko jeden przykład - w podręczniku J. Zielnicy:



Wykorzystywane jest twierdzenie Castigliano (tutaj do obliczenia przemieszczenia punktu przyłożenia siły w poziomie):

\(\displaystyle{ u_{Bpoz}=\int\limits_{0}^{\frac{1}{2} \pi r} \left (\frac{M_{\varphi}}{EA r_{0}}\frac{\partial M_{\varphi}}{\partial P}+ \frac{N_{\varphi}}{EA} \frac{\partial N_{\varphi}}{\partial P}+\frac{M_{\varphi}}{EAr_{0}}\frac{\partial N_{\varphi}}{\partial P}+k^{'} \frac{T_{\varphi}}{GA} \frac{\partial T_{\varphi}}{\partial P} \right) ds}\)

\(\displaystyle{ M_{\varphi}=P r_{0} \cos \varphi}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial M_{\varphi}}{\partial P}=r_{0} \cos \varphi}\)

\(\displaystyle{ N_{\varphi}=-P r_{0} \cos \varphi}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial N_{\varphi}}{\partial P}=- \cos \varphi}\)

\(\displaystyle{ T_{\varphi}=P \sin \varphi}\)

\(\displaystyle{ \frac{\partial T_{\varphi}}{\partial P}= \sin \varphi}\)

\(\displaystyle{ u_{Bpoz}=\int\limits_{0}^{\pi / 2} \left [\frac{P r_{0}^{2} \cos^{2} \varphi}{EA e r_{0}}+\frac{P \cos^{2} \varphi}{EA}-\frac{P r_{0} \cos^{2} \varphi}{EA r_{0}}-\frac{P r_{0} \cos^{2} \varphi}{EA r_{0}}+k^{'} \frac{P \sin^{2} \varphi}{GA} \right] r_{0} d \varphi}\)

\(\displaystyle{ u_{Bpoz}=\frac{P r_{0} \pi}{4EA} \left(\frac{r_{0}}{e} + k^{'} \frac{E}{G} -1 \right)}\)

gdzie:

\(\displaystyle{ A}\) - pole przekroju
\(\displaystyle{ r_{0}}\) - promień do środka ciężkości przekroju
\(\displaystyle{ e}\) - odległość między środkiem ciężkości przekroju i osią obojętną
\(\displaystyle{ k^{'}}\) - współczynnik, dla przekroju trapezowego i prostokątnego \(\displaystyle{ k^{'}=1,2}\)

Czy spotkał się Pan z innymi przykładami tego typu w literaturze ?

I zasadnicze pytanie: jak zmodyfikować te wzory żeby pasowały do mojego przypadku ? Mam przekrój prostokątny, połówkę pręta zamiast ćwiartki i 2 utwierdzenia zamiast 1, szukam przemieszczenia w pionie a nie w poziomie. Może wystarczy zmiana przekroju na prostokątny i podstawienie wartości siły jako \(\displaystyle{ \frac{1}{2}P}\), ponieważ to jest jakby ćwiartka mojego przypadku (połówka tego co liczyłem przy naprężeniach). Domyślam się, że po odwróceniu tego schematu wzory będą takie same i po prostu przemieszczenie w poziomie stanie się przemieszczeniem w pionie.

[kruszewski]

Jest to jedna z metod dość powszechnie kiedyć stosowana. Tw. Castigliano jest tw. energetycznym i kiedyś jego znajomość i zastosowania wymagano powszechnie od "mechanikw" na egzaminie z II wytrzymałości.
Przekrój poprzeczny ma wpływ na położenie warstwy obojętnej, a współczyniki \(\displaystyle{ k}\) są stabelaryzowane, w " Bielajewie" jest taka tablica (paragraf 189)



A wzory na przemieszczenie \(\displaystyle{ u_y}\) otrzyma Kolega po zamianie kosinusów na sinusy i sinusów na kosinusy w przytoczonym równaniu różniczkowym cząstkowym dla \(\displaystyle{ u_x}\).

Przemieszczenie wypadkowe jest sumą geometryczną, "pitagorejską", przemieszczeń poziomego i pionowego.

[StudentIB]

Czyli jeśli chcę policzyć przemieszczenie tego punktu przyłożenia siły w osi \(\displaystyle{ x}\) (wg Pana schematu, czyli w pionie) to nie muszę nic modyfikować w tym wzorze:

\(\displaystyle{ u_{x}=\frac{P r_{0} \pi}{4EA} \left(\frac{r_{0}}{e} + k^{'} \frac{E}{G} -1 \right)}\)

, tak ?

Przekrój mam prostokątny a nie trapezowy, ale rozumiem, że to tylko wpływa na \(\displaystyle{ A}\) we wzorze ? Natomiast \(\displaystyle{ G}\) jest modułem Kirchhoffa ?

[kruszewski]

Dla osi \(\displaystyle{ X-\w}\) równoległej do siły naciskającej \(\displaystyle{ P}\), jak na tym szkicu.

[StudentIB]

A dla osi \(\displaystyle{ y}\) (w poziomie) wystarczy zamienić te funkcje trygonometryczne w tym przedostatnim równaniu ? Wtedy by wyszło:

\(\displaystyle{ u_{y}=\int\limits_{0}^{\pi / 2} \left [\frac{P r_{0}^{2} \sin^{2} \varphi}{EA e r_{0}}+\frac{P \sin^{2} \varphi}{EA}-\frac{P r_{0} \sin^{2} \varphi}{EA r_{0}}-\frac{P r_{0} \sin^{2} \varphi}{EA r_{0}}+k^{'} \frac{P \cos^{2} \varphi}{GA} \right] r_{0} d \varphi}\)

Czy coś więcej się zmieni ? W pochodnych i całkach te 2 f. trygon. przekształcają się jedna w drugą ew. ze zmianą znaku, więc może tutaj też tylko znaki się zmienią ?

P.S. W tym oryginalnym wzorze podanym w książce odejmuje się 2 takie same człony (te z \(\displaystyle{ P r_{0} \cos^{2} \varphi}\)). Autor chyba zrobił błąd.