Wyznaczanie przekroju z warunku sztywności

[Ysu]

Witam,

Czy mógł by ktoś nakierować jak mam obliczyć przekrój belki ( np. kwadrat), korzystając z warunku sztywności dla zginania \(\displaystyle{ E = 10\ 000\, MPa}\) oraz \(\displaystyle{ f _{dop} \frac{l}{400}.}\) Siła działająca na belkę wynosi \(\displaystyle{ 5,25\, KN}\), a \(\displaystyle{ L}\) wynosi \(\displaystyle{ 6\,M.}\)

Planowałem skorzystać z prawa Hooka, ale nie wiem od czego zacząć.

[SlotaWoj]

Kąt ugięcia:

• \(\displaystyle{ \varphi(x)=-\frac{1}{EJ} \int M(x)\,\dd{x} +C}\)

Linia ugięcia:

• \(\displaystyle{ f(x)=\int \varphi(x)\,\dd{x} +D=-\frac{1}{EJ} \iint M(x)\,\dd{x}\,\dd{x}+Cx+D}\)

Stałe całkowania wyznaczysz z warunków brzegowych: \(\displaystyle{ f(0)=0,\:f(L)=0}\) .

[kruszewski]

Przykład: Belka pryzmatyczna i jednorodna o długości \(\displaystyle{ l= 1 \ m}\) , utwierdzona jednym końcem jest obciążona na swobdnym końcu siłą skupioną \(\displaystyle{ P= 20 \ kN}\). jaki wymiary \(\displaystyle{ b \ i \ h}\) musi mieć przekrój belki, jeżeli z warunku sztywności ugięcie belk nie może być większe niż 1/250 długości belki.

Ugięcie swobodnego końca belki: \(\displaystyle{ w _{max} = f = \frac{Pl^3}{3EJ} \le \frac{l}{250 }\ m}\)

Szukaną niewiadomą jest moment bezwładności przekroju belki (wg założenia stały wzdłuż belki) \(\displaystyle{ J}\). Przekształcamy równani e względem J i mamy:

\(\displaystyle{ J \ge \frac{250}{3l} \cdot \frac{Pl^3}{E} = \frac{250}{3} \frac{Pl^2}{E} \ m^4}\)

\(\displaystyle{ \frac{bh^3}{12} = \frac{250}{3} \frac{Pl^2}{E}\ m^4}\)
\(\displaystyle{ bh^3 = 1000 \frac{Pl^2}{E} \ m^4}\)

Dla zadanego stosunku \(\displaystyle{ b/h}\) obliczamy \(\displaystyle{ b \ i \ h}\)

Zawsze jednak dokonjemy obliczeń sprawdzających warunek bezpieczeństwa \(\displaystyle{ x = \frac{R_e}{\sigma_g} \ge X_{wymaganego}}\)

[Ysu]

Jeśli dobrze rozumiem, to jeśli mam parę sił działających na belkę, wtedy muszę mieć maksymalny moment gięcia? I drugie pytanie, jeśli brał bym ten mg max to wtedy biorę całe L czy tylko tyle ile jest do mg max?

[kruszewski]

Odpowiedzi na te pytania wymagają wykładu o momentach. Za dużo by trzeba "przepisac" z podręcznka. Może prościej będzie jak Kolega sięgnie do podręczników mechaniki i wytrzymałości.