Skręcanie pręta o przekroju eliptycznym

[StudentIB]

Witam,

program do obliczeń MES, z którego korzystam na uczelni nie posiada gotowych opcji pozwalających na zadanie momentu skręcającego (ogólnie programy do MESu często mają z tym problem ze wzgl. na ich konstrukcję). W internecie znalazłem sposób na obejście tego ograniczenia i ręczne nałożenie warunku brzegowego w postaci momentu skręcającego (są też inne metody, ale przeznaczone do prętów okrągłych i dosyć skomplikowane). Sposób ten na pierwszy rzut oka działa - na wykresie deformacji rzeczywiście widać skręcenie modelu. Sęk w tym, że autor nie jest przekonany co do poprawności tej metody. Ja zresztą również mam wątpliwości. Postanowiłem więc dokonać walidacji modelu przeprowadzając proste ręczne obliczenia i porównując maksymalne naprężenia uzyskane w analizie MES i ręcznie. Niestety tu pojawia się pierwszy problem: znalazłem 2 sprzeczne wzory na maksymalne naprężenia w takim pręcie. W jednej anglojęzycznej prezentacji jest wzór: \(\displaystyle{ \tau_{max}=\frac{2 M}{\pi a^{2} b}}\), gdzie M to moment skręcający a litery a i b oznaczają półosie elipsy. Natomiast w książce "Wytrzymałość materiałów" Jakubowicz, Orłoś znalazłem wzór: \(\displaystyle{ \tau_{max}=\frac{2 M}{\pi a b^{2}}}\). Który z nich jest prawidłowy ?

Druga sprawa - przeprowadziłem dodatkowo obliczenia MES w innym programie - takim, który posiada wbudowaną opcję zadawania momentu. Wyniki uzyskane tymi wszystkim sposobami wyglądają następująco:

1) ręcznie wg pierwszego wzoru (z kwadratem przy a): 1,27 MPa
2) ręcznie wg drugiego wzoru (z kwadratem przy b): 2,55 MPa
3) MES w programie, w którym testuję znalezioną metodę: 0,28 MPa
4) MES w programie z opcją zadawania momentu: 5,11 MPa

Jak widać różnice są duże. Moim zdaniem zbyt duże żeby uznać to za winę uproszczeń obliczeniowych. Pytanie brzmi: który wynik jest prawidłowy albo przynajmniej najbliższy prawidłowemu ?

Przyjęte we wszystkich obliczeniach dane to:
a = 0,1 m
b = 0,05 m
L = 1 m
M = 1000 Nm

E = 210 GPa
\(\displaystyle{ \nu=0,30}\)
\(\displaystyle{ \rho=7,85 g/cm^{3}}\)

Pręt jest utwierdzony na jednym końcu i obciążony momentem na drugim.


Z góry dziękuję za pomoc

[kruszewski]

Patrząc na przytooczone wyżej wzory trzeba zapytać która oś elipsy ma długość \(\displaystyle{ a}\), a która \(\displaystyle{ b}\)?
Z analogii hydrodynammicznej wynika, że w kwadracie jest miara małej osi elipsy.

[StudentIB]

Dziękuję za odpowiedź. Zapomniałem dodać, że zarówno w prezentacji, jak i w książce Jakubowicza, Orłosia są zastosowane te same oznaczenia półosi. Litera a oznacza półoś wielką, zaś litera b półoś małą.
To by oznaczało, że prawidłowy jest wzór z książki. Zauważyłem jednak, iż rozdział, w którym jest on zawarty, dotyczy skręcania swobodnego prętów. Czy to wyklucza zastosowanie go w moim przypadku, gdzie pręt jest utwierdzony z jednej strony a skręcany z drugiej ?

[siwymech]

1.Moment bezwładności:
\(\displaystyle{ J _{s} = \frac{ \pi }{16} \cdot \frac{m ^{3} }{m ^{2}+1 } \cdot b ^{4}}\)
2. Wskaźnik wytrzymałości:
\(\displaystyle{ W _{s}= \frac{ \pi \cdot b ^{3} }{16} \cdot m}\)
3. Punkty o największych naprężeniach stycznych:
- na końcu mniejszej półosi(b):
\(\displaystyle{ \tau _{max}= \frac{M _{s} }{W _{s} }}\),
- na końcu większej półosi(a) ;
\(\displaystyle{ \tau= \frac{\tau_{max} }{m}}\)
Gdzie:
\(\displaystyle{ \frac{a}{b}=m >1}\)
...........................
Żródło;M.M. Bielajew.Wytrzymałość materiałów.

[kruszewski]

Analizę skręcania pręta o przekroju eliptycznym znalazłem pod adresem:

Problem ominięcia skrępowania jednego z końców i sposobu wprowadzenie momentu skręcającego na drugim można ominąć rozpatrując odkształcenia na długości pręta między przekrojami odległymi od utwierdzenia i wprowadzenie obciążenia o odległość myślę że równą około średnicy ( dla elipsy długości osi dużej). Choć może to być zbyt przesadna ostrożność i wystarczy np. połowa średnic.
Jak Pan wprowadza obciążenie na swobodny koniec pręta, że można uznać je za niekrępowanie tego końca?

Wzory podane za N. M. Bielajewem są też dla swobodnego skręcania (w oryginale чистого кручения).

[StudentIB]

Ze wzorów podanych w książce Bielajewa wyszło mi 20 MPa na końcu mniejszej półosi i 10 MPa na końcu większej. Czyli jeszcze większa różnica w stosunku do wyników analizy MES.

W pdf-ie podesłanym przez Pana Kruszewskiego (jest to fragment bardzo przydatnej zresztą książki "Mechanika materiałów i konstrukcji prętowych" Gawęckiego) jest taki sam wzór jak u Jakubowicza, Orłosia:

\(\displaystyle{ \tau_{max}=\frac{2M}{\pi a b^{2}}}\)

Nie rozumiem skąd taka rozbieżność między wzorami.

Panie Kruszewski, pisząc o tym sposobie obejścia kwestii utwierdzenia jednego końca ma Pan na myśli zastosowanie zmodyfikowanych wzorów w ręcznych kalkulacjach czy inne warunki brzegowe w symulacji MES ? Wydaje mi się, że w analizie MES nie da rady tego zrobić inaczej - muszę wskazać powierzchnię modelu, którą utwierdzam i powierzchnię, na którą nakładam moment:

Kod: Zaznacz cały

https://imgur.com/a/8DbVP

Oczywiście utwierdzenie jest nałożone na "tylną powierzchnię pręta a miejsce przyłożenia momentu pokazuje strzałka.

[kruszewski]

Przyznam się, że nie czuję tego "zadania". czy bada Pan pręt jednostronnie utwierdzony, czy program opisuje taki stan, a on jest inny, (swobodne skręcanie)nie adekwatny do rozwiązywanego prblemu.
Niezgodności w wynikach, Bielajew - Gawlicki/Orłoś wynikają z różnic w oznaczeniach.

I tak, we wzorze z "Bielajewa" \(\displaystyle{ b=}\) podwojonej osi małej , czyli wymiarowi "cieńszej grubości" pręta. Wymiar grubości "mierzony suwmiarką". Wymiar a = "szerokości" przekroju i też "mierzony suwmiarką". Są to osie mała i duża elipsy przekroju.
We wzorach z "Gawlicki/Orłoś" a jest półosią dużą, wtedy szerokość profilu zaś b= półosią małą.
Stąd "Bielajewowe" b = 2b "G/O", zaś Bielajewowe a = 2a "G/O".
W oryginale .M. Bielajew, Soprotiwlenije materiałow, tabl. 17 jest \(\displaystyle{ b}\)-szerokkość (grubość) przekroju eliptycznego , i \(\displaystyle{ h}\) jego wysokość.
I wzory:
Moment bezwładności przy skręcaniu \(\displaystyle{ J_k= \frac{ \pi }{16} \cdot \frac{m^3}{m^2+1} b^4 = \frac{16 F^4}{ \pi ^2bh(b^2 + h^2)}}\)
Wskaźnik wytrzymałości przy skręcaniu :
\(\displaystyle{ W_k= \frac{ \pi }{b^3} \cdot m = \frac{ \pi b^2h}{16}}\)

Punkty z największymi naprężeniami stycznymi
max \(\displaystyle{ \tau= \frac{M_k}{W_k}}\)
Na końcach małej półosi przekroju \(\displaystyle{ \tau_{max} = \frac{M_k}{W_k}}\)
Na końcach dużej półosi \(\displaystyle{ \tau= \frac{\tau_{kmax}}{m}}\)
\(\displaystyle{ \frac{h}{b}=m>1}\); \(\displaystyle{ F}\)-pole przekroju

[StudentIB]

Teraz jasne, nie wiedziałem, że we wzorze Bielajewa podaje się wymiary osi zamiast półosi. Nie wyjaśnia to jednak różnicy między wzorem z anglojęzycznej prezentacji ( ... s%20VI.pdf) a tymi z książek.

Pozostaje jeszcze najważniejsza kwestia - jak sprawdzić poprawność wyników uzyskanych w symulacji MES. Skoro wszystkie wzory dotyczą pręta swobodnego to chyba muszę odpuścić ręczne sprawdzanie i porównać wyniki symulacji wykonanych w różnych programach.

P.S. Z tego co wiem problemy z wprowadzaniem momentu skręcającego w programach MES wynikają z faktu, iż nie obsługują one obrotowych stopni swobody.

[kruszewski]

pierwsze strony, tekst między wzorami (12.1) a (12.2) o praktycznym wpływie nieswobodnego skręcania na jego efekty. Jak Pan pewnie zauważa problem jest nie tylko w przekrojach utwiardenia ale i w przekroju między przekrojami utwierdzenia do którego przyłożno moment skręcający.

Dobra i przystępna analiza jest w :
Janusz Walczk, Wytrzymałość materiałów oraz podstawy teorii sprężystości i plastyczności. Tom II, Część III . Wyższe zagadnienia i wybrane działy stereomechaniki.

[StudentIB]

Sprawdziłem obliczenia MES w jeszcze jednym programie dostępnym na uczelni i wyszło tyle samo co w tym programie z punktu czwartego mojego pierwszego posta (5,11 MPa). Tak jak wspomniałem wcześniej, ze względu na to, iż ręczne obliczenia dają inne wyniki i są dla prętów swobodnych, będę porównywał tylko wyniki symulacji numerycznych. A skoro w 2 różnych programach wyszła identyczna wartość zaś w tym, gdzie testuję metodę zadawania momentu jest dużo mniejszy wynik (zresztą w innych przypadkach też mocno zaniża i podaje np. mask. napr. von Mises 0,25 MPa zamiast 89 MPa i maks. napr. styczne dla punktów przy zewnętrznej powierzchni pręta 0,15 MPa zamiast 51 MPa) to metoda jest niestety nieprawidłowa.

P.S. Przykłady zaniżanych wartości dotyczą zadania, w którym skręcany jest pręt o przekroju kołowym i promieniu 5 mm. Moment wynosi 10 Nm. Zatem obliczenia analityczne z przybliżonego wzoru \(\displaystyle{ \tau_{max}=\frac{M_{s}}{0,2 d^{3}}}\) potwierdzają, że wartość 50 MPa jest prawidłowa.

[kruszewski]

Czym by Pan objaśnił jednakowe zielone natążenie koloru na tym odległym końcy pręta i trójkątnym obszarem koloru największech naprężeń, tych właśnie około \(\displaystyle{ 50 MPa}\) ? Podobnie tych niebieskich wdłuż tworzącej na długiej osi elipsy? Czyżby wpływem utwierdzenia? A to jest ta nieswobodność.

[StudentIB]

Rzeczywiście rozkład naprężeń przypomina ten z rysunków w literaturze. Bardzo podobny wykres uzyskałem w tej ostatniej analizie (tam gdzie również wyszło 5,11 MPa). Oprócz kwestii znalezienia lepszej metody zadawania momentu skręcającego w tym jednym feralnym programie (będę z niego korzystać do pracy dyplomowej) warto by było uzyskać prawidłowy wynik ręcznymi obliczeniami. I tu mamy dziwną sytuację: rozumiem, że te podstawowe wzory literaturowe nie uwzględniają utwierdzenia. To by wyjaśniało dlaczego dla pręta eliptycznego wychodzi inaczej niż w symulacjach. Ale w przypadku pręta o przekroju kołowym z ręcznych obliczeń wyszło dokładnie tak samo jak w analizach MES ...

[kruszewski]

Nie uwzględniają, bo przekroje pręta o przekroju kołowym w utwierdzeniu i kolejne wzdłuż długości pręta pozostają kołowe.

[StudentIB]

Teraz rozumiem dlaczego wyszło ręcznie dla pręta kołowego a nie wyszło dla eliptycznego. Czyli ciężko będzie uzyskać analitycznie taki wynik jak w MES.
Kilka postów wcześniej napisał Pan żeby w tym celu "rozpatrzyć odkształcenia na długości pręta między przekrojami odległymi od utwierdzenia i wprowadzić obciążenie o odległość ok. połowy średnicy".
Czy mogę prosić o rozwinięcie tej koncepcji ? Jakie wzory zastosować, co dokładnie policzyć ? Do tej pory korzystałem tylko z tych ostatecznych wzorów na naprężenia maksymalne, pomijając wyprowadzenia

[kruszewski]

Proszę zaglądnąć na pw. Jutro odpiszę na Pana pytanie.-- 31 paź 2017, o 13:25 --
Część pręta wdłuż czarnej kreski można uważać za swobodnie skręcaną, Część wzdłuż czerwonej krechy za przejściwą od przekroju skrępowanego do przekroju uznanego za swobodny. Swobodną część można analizować wg wzorów dla takego skręcania. W części "przejściowej" , badać kąt skręcenia i naprężenia styczne na końcach osi duża/mała dla różnych stosunków osi elipsy w zależności od odległości od odległości od przekroju utwierdzenia, skrępowania. ( Jeżeli nie ma już w liteaturze takich wzorów, bądź weyfikować ich słuszność/poprawność).
W.Kr.