Matematyka.pl

Witam

Mam taką prośbę, mógłby mi ktoś wytłumaczyć krok po kroku jak rozwiązuje się takie zadanie, i w ogóle jak rozwiązuje się zadania tego typu wyznaczalne oraz nie wyznaczalne?



Dane:

L, q, P=0,5q, EA,

q-siła rozłożona.

Do obliczenia:

wydłużenie, naprężenia, wykonać wykresy sił, naprężeń oraz przemieszczenia.

Z góry wielkie dzięki.

Bardzo podobne było rozwiązywane nie tak dawno temu na forum. Warto zaglądnąć.

Tak jest było podobne jednak nie do końca jasno jak dla mnie wytłumaczone i nie było siły rozłożonej.

Które Kolega oglądał?

369091.htm?hilit=rozci%C4%85ganie

Innego podobnego nie znalazłem.

Dla rozwiązania zadania, które jest jednokrotnie statycznie niewyznaczalne, przeprowadźmy takie rozumowanie.
Odmocujmy ten trzyczęściowy pręt od górnej płyty i ponumerujmy licząc od góry te jego trzy części, 1, 2 i 3. Zauważmy, że w walcu dolnym, trzecim, naprężenia normalne \(\displaystyle{ \sigma_3}\) jakie w nim wywołuję obciążenie przyłożone do jego górnego przekroju równe jest
\(\displaystyle{ \sigma_3= \frac{2P-ql}{A}}\) ..... (1)
Zaś w walcu środkowym, drugim, średnie naprężenia (po uśrednieniu obciążenia rozłożonego wzdłuż wysokości walca) są równe
\(\displaystyle{ \sigma_2= \frac{P- \frac{1}{2}ql }{A}}\) ... (2)
Przydatność takiego uśrednienia okaże się w obliczaniu odkształceń i jak zauważymy nie będzie mieć wpływu na ścisłość rozwiązania.
Związek między odkształceniami a naprężeniami normalnymi opisuje równanie wg prawa Hooke`a
\(\displaystyle{ \Delta l= \frac{\sigma}{E} \cdot l}\) ... (3) ,
które możemy wykorzystać do zapisania odkształceń każdego z trzech walców składających się na rozpatrywany pręt. I tak:
\(\displaystyle{ \Delta l_3= \frac{2P-ql}{E \cdot A} \cdot l}\) ... (4)
\(\displaystyle{ \Delta l_2= \frac{2P-ql}{2 \cdot A \cdot E}}\) ... (5)
\(\displaystyle{ \Delta l_1 = 0}\) ... (6 )
bowiem na tę część pręta tym czasem nie działa żadna siła.
Odkształcenie całego pręta jest sumą odkształceń jego 1-szej i 2-giej części, zatem:
\(\displaystyle{ \Delta L = \Delta l_3 + \Delta l_2 + \Delta l_1 = \frac{(2P-ql)+ \frac{1}{2}(2P-ql) }{EA} \cdot l}\) .... (7)
O taką długość należy teraz rozciągnąć cały pręt aby odmocowany górny przekrój dostawić do płyty górnej. Zatem dla takiego "rozciągnięcia" pręta należy przyłożyć do jego górnego przekroju taką siłę, która wywoła takie potrzebne wydłużenie. Siłę tą określimy z równania:
\(\displaystyle{ \Delta L= \frac{F \cdot L}{AE}}\) .... (8)
Naprężenia normalne które ona wywoła określi wzór: \(\displaystyle{ \sigma_r= \frac{F}{A}}\) ....(9)
i będą się one dodawać do naprężeń jakie wywołało w każdej z trzech części pręta obciążenie siłami P i q. Zwracając teraz uwagę na rozłożone obciążenie ciągłe q w środkowej części pręta.
Tu już "uśrednianie" obciążenia q prowadziłoby do fałszywych wyników.
Zauważmy, że siła F przyłożona do przekroju górnego pręta jest siłą z jaką górna płyta działa na pręt. Jest to więc reakcja utwierdzenia pręta od strony górnej płyty. Reakcję dolnej płyty obliczamy z sumy rzutów sił na oś pionową pręta.
Zauważmy też, że siła z jaką dolna płyta działa na dolną część pręta wywołuje w nim naprężenia ściskające akie, że \(\displaystyle{ \sigma _3_c= \frac{R}{A}}\) .... (10)
Stąd reakcję dolnej płyty można określić z tej zależności znając wcześniej naprężenia sumaryczne \(\displaystyle{ \sigma_3_s}\) (od działania sił P i obciążenia q oraz wywołanych siłą rozciągającej niezbędną do skasowania skrócenia ) jakie powstają w dolnej części pręta.
\(\displaystyle{ R=\sigma_3_c \cdot A}\) .... (11)
W.Kr.

Ok wielkie dzięki, spróbuję na podstawie tego rozwiązać i wrzucę do sprawdzenia.

Ale mam jeszcze jedno pytanie dlaczego w sigma 2 jest P-0.5ql a nie P-ql

Bo rozkład N(q) podług wysokości słupka jest trójkątny. Dla \(\displaystyle{ y=0 \rightarrow q=0, \ dla \ y=l \rightarrow ql.}\)