Matematyka.pl

Pomożecie? Niby to rozwiązałem, ale coś mi tu nie pasi. Poza tym nie jestem pewien, czy 'wyznacz ugięcie' to tylko wyznaczenie sił tnących i momentów gnących, czy w ogóle nie rozumiem polecenia?


edit: doszedłem już do tego, że jest źle, robię od nowa, wrzucę jak skończę ale miło byłoby porównać z kimś, kto to potrafi : )

Pewnie, że nie pasi.
Wyznacz ugięcie to znaczy, napisz równanie odkształconej belki utwierdzonej i obciążonej jak na rysunku.
Trzeba zatem rozwiązać to klasyczne równanie: \(\displaystyle{ EI y'' = -M}\) i wyliczyć maksymalne ugięcie ( bo pewnie o takie jest pytanie) belki, a to wystąpi na swobodnym jej końcu.
W.Kr.

pytanie jest takie jak na rysunku proszę Pana.

Czyli tak jak piszę.
Trzeba napisać to równie, przecałkować dwukrotnie, i zauważyć że stałe całkowania C i D będą wynikać z warunków: w przekroju utwierdzenia : \(\displaystyle{ y'=0 \ i \ y=0}\)
I pamiętać należy, że moment skupiony (taki jak ten obciążający belkę) jest parą sił, których (siła) wypadkowa równa jest zero. To spostrzeżenie pozwoli natychmiast określić reakcje w przekroju utwierdzenia.
W.Kr.

\(\displaystyle{ EJy" = -M}\)

\(\displaystyle{ y" = \frac{-M}{EJ}}\)

\(\displaystyle{ y' = \frac{-Mx + C}{EJ}}\)

\(\displaystyle{ y = \frac{-Mx^2 + Cx + D}{EJ}}\)

\(\displaystyle{ 1. x = l, y' = 0, \Rightarrow \frac {-Ml + C} {EJ} = 0 \Rightarrow C = Ml}\)

\(\displaystyle{ 2. x = l, y = 0, \Rightarrow \frac {-Ml^2 + Ml^2 + D} {EJ} = 0 \Rightarrow D = 0}\)

\(\displaystyle{ y' = \frac {-Mx + Ml} {EJ}}\)

\(\displaystyle{ \vartheta = y' (0) = \frac {Ml}{EJ}}\)

\(\displaystyle{ y = \frac {-Mx^2 + Ml} {EJ}}\)

\(\displaystyle{ f = y (0) = \frac {Ml}{EJ}}\)


Czy teraz się zgadza? Nie jestem pewien tych warunków brzegowych.

Po co komplikować ?
Przyjmijmy taki początek i zwrot osi x jak na szkicu. Wtedy \(\displaystyle{ y'' = - \frac{1}{EI} M \rightarrow y' = - \frac{1}{EI}M \cdot x +C}\)
i dla \(\displaystyle{ x=0 \rightarrow C=0}\) ;
bo w przekroju utwierdzenia o współrzędnej x=0 kąt obrotu równy jest zero a stąd i jego tangens równy \(\displaystyle{ y' =0}\)
i \(\displaystyle{ y'=- \frac{1}{EI}M \cdot x}\)
kolejne przecałkowanie daje w wyniku : \(\displaystyle{ y= -\frac{1}{2EI} M \cdot x^2 +D}\)
a wtedy dla \(\displaystyle{ x=0 \rightarrow D=0}\)
bo ugięcie, strzałka, w przekroju utwierdzenia \(\displaystyle{ y=0}\)
i \(\displaystyle{ y=-\frac{1}{2EI} M \cdot x^2}\)
Podstawiamy \(\displaystyle{ x=l}\) do obu wyników i mamy kąt oraz strzałkę na końcu belki.
A podstawiając "pośrednie" wartości odciętej x : \(\displaystyle{ 0<x<l}\) otrzymamy kąty i strzałki w "pośrednich" przekrojach.