Kąt obrotu i ugięcie belki..

[xnowyx]

Witam wszystkich zainteresowanych.
Mam problem ze swoją belką. A mianowicie zapomniałem jak oblicza się ugięcia beli oraz jej kąt. Oto moje obliczenia...
Belka jest utwierdzona z prawej strony. Całkowita długość \(\displaystyle{ 3m.}\) Na długości od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 2}\) metrów od lewej strony obiążenie ciągłe \(\displaystyle{ q=3}\), W odległości \(\displaystyle{ 2}\) metrów od lewej strony siła skupiona skierowana w dół \(\displaystyle{ 6 kN}\) oraz moment lewoskrętny \(\displaystyle{ 5}\),
Punkt ugięcia na początku lewej strony.


\(\displaystyle{ Ex=0 \\
Ra=12kN \\
EMa=0 \\
Ma=23kNm \\
1 ) \ \ \ \ \ \ - \frac{q(x)^2}{2} - P(x-2) - M(x-2)^0 +\frac{q(x-2)^2}{2} \\
2 ) \ \ \ \ \ \ c1 - \frac{q(x)^3}{6} - \frac{P(x-2)^2}{2} - M(x-2) + \frac{q (x-2)^3}{6} \\
3) \ \ \ \ \ \ c1X+ C2 - \frac{q(x)^4}{24} - \frac{P(x-2)^3}{6} - \frac{M (x-2)^2}{2} + \frac{q(x-2)^4}{24}}\)


Jakie będą warunki zerowe?
czY \(\displaystyle{ x=3, y=0}\)

[Kamil Wyrobek]

Popraw post używając LaTeXa. Wstaw rysunek

[xnowyx]

\(\displaystyle{ Ra=12 kN \\
Ma=23 kN \\
q=3 kN/m \\
M1=5 kNm \\
P=6 kN}\)

\(\displaystyle{ -q \frac{ x^{2} }{2} - P(x-2) - M(x-2) + q \frac{ x-2^{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ c1- q \frac{ x^{3} }{6} - P \frac{ x-2^{2} }{2} -M(x-2) + q \frac{ x-2^{2} }{6}}\)
\(\displaystyle{ C1x + c2 -q \frac{ x^{4} }{24} - P \frac{ x-2^{3} }{6} - M \frac{ x-2^{2} }{2} + q \frac{ x-2^{4} }{24}}\)

-- 2 sty 2013, o 21:55 --

Jakie będą warunki zerowe??
\(\displaystyle{ x=3,y=0}\)? Jeżeli tak, to stałe całkowania \(\displaystyle{ C1=0}\) a \(\displaystyle{ C2=4,5}\)

[Kamil Wyrobek]

\(\displaystyle{ C_{1}x + C_{2} -q \frac{ x^{4} }{24} - P \frac{ (x-2)^{3} }{6} - M \frac{ (x-2)^{2} }{2} + q \frac{ (x-2)^{4} }{24}}\)

Tak powinno to wyglądać. Nawiasy MUSISZ uwzględniać bo wyjdą głupoty. Warunki brzegowe dla pełnego utwierdzenia

\(\displaystyle{ w=0}\)

\(\displaystyle{ w'=0}\)

[xnowyx]

Faktycznie tak samo mi wyszło...
A jak obliczyć ugięcie belki i ile ono wynosi w punkcie K..?

[Kamil Wyrobek]

Mnożysz \(\displaystyle{ \frac{1}{EI}\left(C_{1}x + C_{2}-q \frac{ x^{4} }{24} - P \frac{ (x-2)^{3} }{6} - M \frac{ (x-2)^{2} }{2} + q \frac{ (x-2)^{4} }{24} \right)}\)

I za \(\displaystyle{ x}\) podstawiasz wartość w jakiej odległości znajduje się punkt K.

[xnowyx]

czyli jeżeli moje x=3 to otrzymuje wynik
\(\displaystyle{ \frac{1}{EI}\left( -3 \frac{ 3^{4} }{24}-6 \frac{1}{6}-5 \frac{1}{2}+3 \frac{1}{24} \right)=-0,162 m}\)
\(\displaystyle{ E= 10^{7}}\)
a= 10 cm czyli \(\displaystyle{ \frac{ \left( 0,1m\right) ^{4} }{12} =8.33* 10^{-6}}\)
Stałe c wynoszą 0
I tu moje pytanie czy X powinien wynosić 3 czy 0 albo 1? Czy może to jest dobrze...
Czy żeby obliczyć kąt ugięcia to wynik mnożę przez\(\displaystyle{ \frac{180}{ \pi }}\)

[Kamil Wyrobek]

Kąt ugięcia otrzymujesz przez podstawienie do pierwszego całkowania. Btw. sprawdź czy dla \(\displaystyle{ x=0}\) \(\displaystyle{ y=0}\) bo jeżeli nie to gdzieś jest błąd =P

[xnowyx]

Zrobiłem tak..
Warunki brzegowe.... \(\displaystyle{ x=3, y=0}\)
Wyszło mi coś takiego..:
\(\displaystyle{ E*J* \frac{ d^{2}y }{d x^{2} }= -q \frac{ x^{2} }{2} - P(x-2) - M(x-2) + q \frac{ \left( x-2\right)^{2} }{2}}\)
\(\displaystyle{ E*J* \frac{ d_{y} }{ d^{x} }= C_{1}-q \frac{ x^{3} }{6}-P \frac{\left( x-2\right) ^{2} }{2}-M\left( x-2\right) +q \frac{\left( x-2\right) ^{3} }{6}}\)
\(\displaystyle{ E*J*fi= C_{1}*x+C _{2}-q \frac{ x^{4} }{24}-P \frac{\left( x-2\right) ^{3} }{6}-M \frac{\left(x-2 \right) ^{2} }{2}+q \frac{\left( x-2\right) ^{4} }{24}}\)

Następnie z warunków brzegowych x=3 i y=0 wyliczam \(\displaystyle{ C _{1}iC _{2}}\)
\(\displaystyle{ E*J* \frac{ d_{y} }{ d^{x} }= C_{1}-q \frac{ x^{3} }{6}-P \frac{\left( x-2\right) ^{2} }{2}-M\left( x-2\right) +q \frac{\left( x-2\right) ^{3} }{6}}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow C _{1}=21}\)

\(\displaystyle{ E*J*fi= C_{1}*x+C _{2}-q \frac{ x^{4} }{24}-P \frac{\left( x-2\right) ^{3} }{6}-M \frac{\left(x-2 \right) ^{2} }{2}+q \frac{\left( x-2\right) ^{4} }{24}}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow C _{2}=49,5}\)

Dalej obliczam kąt ugięcia z pierwszego całkowania w punkcie K gdzie x=0 (początek belki od lewej strony)
PO podstawieniu wychodzi \(\displaystyle{ C _{1}= -49,5}\)
Mnożę to przez 0,012 (\(\displaystyle{ \frac{1}{E*J}}\))
i wychodzi mi -0,594
Dalej mnożę to przez \(\displaystyle{ \frac{180}{ \pi }}\) i dostaję wynik \(\displaystyle{ 34,05 \left( w stopniach\right)}\)
czy to jest dobrze?? a jak obliczyć wartość ugięcia?

[Kamil Wyrobek]

Ahh... powiedziałem, że podstawiasz do pierwszego całkowania. W pierwszym całkowaniu podstawiasz x i dostajesz kąt.

[xnowyx]

No dobrze podstawiam do pierwszego całkowania x=0 i otrzymuję kat.... A jak obliczyć wartość ugięcia.

[Kamil Wyrobek]

Podstawiając do drugiego całkowania dostajesz wartość ugięcia, podstawiając do pierwszego kąt.

[xnowyx]

Dzięki wielkie zrobiłem, Zobaczymy czy dobrze wyjdzie...Pzdr.