Matematyka.pl

Witam, proszę o pomoc w dokończeniu tego zadania. na nici zawieszono pręt o dł \(\displaystyle{ l}\) i masie \(\displaystyle{ m}\). Nić przecięto. znaleźć \(\displaystyle{ R_a,\ x^{\prime\prime}_{c} , \ x' _{c} ,\ x _{c} \text{ i } R _{A}}\) .

schemat:


potrafię wyliczyć \(\displaystyle{ a _{\tau} = \frac{3}{4}g \text{ i } R _{A} =\frac{1}{4}mg}\). pozostałych szukanych nie umiem, proszę o pomoc z objaśnieniem.

Pożytecznym dla chcących pomóc byłoby napisanie pełnej treści zadania. Bo np. w czym tkwi różnica między \(\displaystyle{ R _{a} a R _{A}}\) ?

W.Kr.

Mój błąd, istnieje tylko \(\displaystyle{ R_{A}}\). Treść zadania podana była jeszcze bardziej skrótowo niż napisałem. Wiadomo, że po przecięciu nici pręt obraca się częściowo wokół zamocowania.

W chwili przecięcia nici pręt jest w spoczynku. Żaden punkt pręta w tej chwili nie ma prędkości. Zatem i nie ma prędkości kątowej, ale ma przyśpieszenie grawitacyjne g pomniejszone o opóźnienie spowodowane bezwładnością belki i przyśpieszenie kątowe jako konsekwencja występowania przyśpieszenia "a", jako wypadkowego od 'g' i tego od bezwładności belki przy obrocie względem podpory A.

W chwili przecięcia nici moment ciężaru belki względem podpory A wynosi :
\(\displaystyle{ M=G \cdot \frac{1}{2} \cdot l}\) gdzie G to ciężar belki, i powoduje obrót belki względem A.
Ale belka jako ciężka, względem środka obrotu będzie się temu obrotowi przeciwstawiać z momentem bezwładności
\(\displaystyle{ M _{bezwł}= I _{z} \cdot \varepsilon = \frac{2}{3} \cdot m \cdot a \cdot l}\)
Gdzie 'a' to rzeczywiste przyspieszenie srodka masy belki. Trzeba zauważyć, że jest ono inne niż 'g' bowiem jest opóźniane w stosunku do g o bezwładność w ruchu obrotowym.
Warunek równowagi w chwili przecięcia nici jest :
\(\displaystyle{ -M + M _{bezł}= \frac{1}{2} G \cdot l + \frac{2}{3} \cdot m \cdot a \cdot l}\)
Rozwiązując względem przyśpieszenia 'a' otrzymaujemy;
\(\displaystyle{ a= \frac{3}{4} \cdot g}\)
I teraz siła bezwładności belki \(\displaystyle{ F _{B} =m \cdot a = \frac{3}{4} \cdot g \cdot m}\)
Na belkę działają , co widać, siła ciężkości mg, siła bezwładności \(\displaystyle{ F _{bezwł}}\) i reakcja \(\displaystyle{ R _{A} w podporze A}\)
Warunkiem równowagi w chwili przecięcia nici, nim rozpocznie sie ruch, jest :
\(\displaystyle{ R _{A} + F _{bezwł} - m \cdot g =0}\)
Reakcje w A i siła bezwładności maja zwroty "ku górze" bo jedna podpiera koniec belki a druga przeciwstawia się ruchowi powodowanego "grawitacją" ciężkiej belki. Stąd takie znaki.
Reakcja w podporzeze A jest reakcja dynamiczną. Wyliczyć jest ją już łatwo rozwiązując ostatnie równanie. Wynik jest zaskakujący.
W.Kr.
Przepraszam za kilkukrotne edytwanie, ale ciągle nie podobał mi się tekst.

Chyba traktowaliśmy to zadanie bardziej "po szkolnemu" robiąc obliczenia ogólne, nie dla dokładnego momentu przecięcia nici. Wyliczoną sumę momentów wzgl. p. A wstawialiśmy do równania ruchu obrotowego, skąd wyliczlaismy wartość przyspieszenia kątowego = \(\displaystyle{ \frac{3g}{2l}}\). Z równania ruchu dla punktu C obiczalismy \(\displaystyle{ R _{A}}\), ówcześnie znajdując przyspieszenie styczne dzięki katowemu. Problem pojawia sie przy szukaniu wartóści z polecenia zadania.