Matematyka.pl

Dany jest fundament stopowy o podstawie koła o średnicy D obciążony mimośrodowo siłą P, tak, że wypadkowa wychodzi poza rdzeń przekroju. Wyznaczyć wykres naprężeń pod fundamentem.

Podpowiem tak:
Wiadomo, że dla przekroju kołowego słupa, pręta, pole rdzenia przekroju jest kołem o promieniu \(\displaystyle{ r = \frac{R}{4}}\). Zatem, jeżeli siła wypadkowa\(\displaystyle{ P}\) "leży" po za polem rdzenia, to w tym przypadku jej punkt przyłożenia do przekroju jest odległy od jego środka o więcej niż \(\displaystyle{ \frac{R}{4}}\). Zatem trzeba wybrać taki punkt. Może nim być punkt odległy od środka przekroju np. o \(\displaystyle{ \frac{R}{2}}\). Dla takiego, tego punktu przyłożenia wypadkowej \(\displaystyle{ P}\) trzeba znaleźć położenie osi obojętnej ( nie pomylić z osia obojętną momentu bezwładności przekroju, bo są to inne osie). Mając wyznaczoną tę oś można już wyznaczyć interesujące nas zależności.
W.Kr.

dobrze, ale jeśli fundament ma w podstawie prostokąt to naprężenia maksymalne wyliczam z tzw. bryły naprężeń pod fundamentem (dla przypadku gdy wypadkowa siła wychodzi poza rdzeń) - robię tak dlatego, że grunt nie przenosi rozciągania, więc może wystąpić tylko strefa ściskana pod fundamentem. Dla prostokąta sprawa jest dość łatwa, bo równowaga zachodzi, gdy wypadkowa zostanie zrównoważona przez bryłę naprężeń, która ma postać graniastosłupa o wysokości równej szerokości fundamentu. A jak to będzie w przypadku koła?

Podpowiem takim rysunkiem:

W.Kr.

znów mam podobny problem i nadal nie wiem jak go rozwiązać. jak wyznaczyć tę bryłę naprężeń, która zrównoważy obciążenie wychodzące poza rdzeń? bo to że to ma wyglądać mniej więcej tak jak pokazał przedmówca to się zgodzę, ale potrzebny mi wzór, z którego to policzę.

Jeżeli siła ( wypadkowa, skupiona) obciążająca fundament "znajduje się" po za rdzeniem przekroju, to oznacza, że w części przekroju ( rozumiem tu poparcie fundamentu gruntem o polu i kształcie stopy fundamentu) zachodzą naprężenia odrywające stopę fundamentu od gruntu, które mozna uważać za rozciągające. Czy tak?
Jeżeli tak to naprężenie w dowolnym punkcie przekroju : \(\displaystyle{ \sigma = - \frac{P}{A} - \frac{M _{x} }{J _{x} } \cdot y - \frac{M _{y} }{J _{x} } \cdot x}\) ,
gdzie : \(\displaystyle{ M _{x} = P \cdot y _{p} ; \ M _{y} = P \cdot x _{p} \ ;}\)
zaś \(\displaystyle{ y _{p} , \ x _{p}}\) są współrzędnymi punktu przyłożenia siły skupionej określanymi względem osi przechodzacych przez
jego środek .
Równanie to można zapisać i tak: \(\displaystyle{ \sigma = - \frac{P}{A} \cdot ( 1+ \frac{y _{p} }{i ^{2} _{x} \cdot y } + \frac{x _{p} }{i ^{2} _{y} \cdot x} )}\)
Oś obojętna i jej położenie jest pewnie znane Pytającemu. Zatem bryła naprężeń będzie dla tego przypadku ( podstawa kołowa) "jak plasterek ukośnie ciętej kiełbaski" .
W.Kr.

ale sęk w tym, że nie można analizować tego przypadku w ten sposób, że grunt będzie rozciągany. tam po prostu są naprężenia zerowe, a cała reszta pracuje na ściskanie. i gdyby siła wypadkowa była w rdzeniu to byłby plasterek ładny a w tym przypadku trzeba go uciąć nieco inaczej. i to inaczej jest dla mnie zagadką.

A tak jak:

można ?
W.Kr.

nie wiem czy dobrze się zrozumieliśmy, ale tak wygląda sytuacja naprężeń pod fundamentem na planie prostokąta


i teraz problem trzeba przenieść do planu koła

to co narysowałeś jest niemalże ok, tylko tyle, że nie możemy uwzględnić tej części rozciąganej

A kto każe ją uwzględniać? na tym szkicyku com załączył trzeba wziąć pod uwagę tylko prawą część, tę "pod" zakreskowaną częścią a tę lewą uznać, za "nieobecną" . Tak myślę.
Może to sprawiać problem rachunkowy do wyliczenia objętości, ale nie aż tak wielki by go nie przeskoczyć.
W.Kr.

no ale to nie jest do końca tak prosto.

zasada przy obliczaniu napr. pod fundamentem gdy siła wychodzi poza rdzeń jest taka:
- szukamy wypadkowej sił obciążających i miejsca przyłożenia
- reakcja podłoża ma zrównoważyć wypadkową obciążenia, czyli leży na tej samej linii
- wypadkowa reakcji leży w odległości 1/3 długości bryły naprężeń pod fundamentem od skraju mocniej obciążonego -> na tej podstawie uzyskujemy długość strefy pracującej na ściskanie

tak sytuacja wygląda przy obliczeniach dla fundamentu prostokątnego

Ta \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) -cia wynika z prostej zależności pola przekroju poprzecznego bryły obciążeń, która ma w tym przypadku prostokreślne krawędzie. W przypadku kołowej stopy trzeba znależć środek objętości bryły i przez niego przeprowadzić wypadkową.
Jak czytam, to Kolega nie kwestionuje kształtu bryły czy rozkładu napęrżeń ale nie wie jak poszukać owego środka przez który przechodzi owa wypadkowa. Bez całkowania to chyba sie tu nie obejdzie. Chyba, że są gdzieś stablicowane takie wzorki dla takich brył.
W.Kr.

z tym środkiem ciężkości przyznaję rację;
jednak jeśli dochodzimy do całkowania to znaczy, że ten problem jest zbyt skomplikowany jak na początek nauki wytrzymałości materiałów nie mniej jednak, problem jest ciekawy i jeśli ktoś zechce pomóc to chętnie się dowiem jak takie zadanie rozwiązać

Ten 'nasz' problem nie jest problem wytrzymałości materiałów sensu stricte. Jest problemem "matematycznym". Zadanie znajdowania środka ciężkości fikuśnej troche bryły ale mającej płaszczyznę symetrii , której ślad na przekroju poprzecznym walca to prosta prostopadła do linii zerowych naprężeń , ta dzieląca plasterek na połowy. Rozwiązanie przypomina sposób znajdowania środka ciężkości figury z użyciem momentów statycznych pól.
W.Kr.

-- 23 lut 2012, o 16:14 --

W mojej biblii pod tytułem : "Poradnik Inżyniera, mechanika Tom I " jest taki rysunek i wzorki :

W.Kr.

Witam serdecznie,

Niestety problemu nie można sprowadzić jedynie do odrzucenia rozciąganej części bryły naprężeń, gdyż problem staje się nieliniowy (naprężenia nie zmieniają się liniowo pod stopą), wzór na naprężenia wyprowadzony na bazie liniowego rozkładu naprężeń, który kolega przytoczył powyżej już nie obowiązuje, a położenie osi obojętnej ulega przesunięciu w stosunku do położenia przy rozkładzie liniowym. W związku z tym faktem naukowcy podają jedynie rozwiązanie przybliżone, które różni się zasadniczo od rozwiązania zaproponowanego przez kolegę powyżej (naprężenia są wyższe przy uwzględnieniu nieliniowości). Przykład takiej aproksymacji jest w książce Czesława Rybaka pt. "Fundamentowanie". Pozdrawiam serdecznie.

-- 26 kwi 2012, o 23:27 --