Matematyka.pl

Witam,
mam spory kłopot z następującym zadaniem:
Wzdłuż rurki o momencie bezwładności I względem AB porusza się punkt C mający masę m i prędkość v. Układ jest wprawiany w ruch obrotowy przez stały moment M.
Należy odszukać \(\displaystyle{ \omega}\) jako funkcję \(\displaystyle{ x}\) odległości punktu C od osi AB.
Warunki: \(\displaystyle{ \omega(0)=0 \ \ , \ \ x(0)=0}\) ,

obrazek:

wynik, wg. książki, powinien wyjść: \(\displaystyle{ \omega= \frac{M}{I+mx^{2}} \cdot \frac{x- x_{0} }{v} }}\)

Rozumiem, że taki wynik wyjdzie po porównaniu krętów... Ale właśsnie, w jakich momentach? Próbowałem policzyć w rozne sposoby ale nijak nie chce zaskoczyć. Proszę o pomoc/wskazówki.

Moment bezwładności rurki i kulki wzgledem osi AB w chwili t jest równy :
\(\displaystyle{ I _{r} +m \cdot x ^{2}}\)
Moment kręcący równy jest :
\(\displaystyle{ M=(I _{r} +m \cdot x ^{2} ) \cdot d \omega /dt}\)
Wyrażając \(\displaystyle{ \frac{d\omega}{dt} = \frac{d\omega}{ \frac{dx}{v} }}\)
I przekształcając mamy:
\(\displaystyle{ d\omega = \frac{M}{(I _{r} + mx ^{2} ) } \cdot \frac{dx}{v}}\)
Całkując i uwzględniając warunki początkowe mamy jak w odpowiedzi zadania.
W.Kr.