Witam wszystkich. Dostałem takie oto zadanie i nie mam bladego pojęcia co i jak więc bardzo bym was prosił o pomoc w rozwiązaniu
Lokomotywa porusza się ze stałą co do wartości prędkością v po łuku toru o promieniu równym r. Wskutek efektu żyroskopowego zestawu kołowego występuje zwiększenie się nacisku koła wewnętrznego. Wyznaczyć tę zmianę nacisków kół, w przypadku gdy promień koła równy jest a, odległość między szynami wynosi l. Moment bezwładności zestawu względem jego osi równa się I1.
Rozwiązanie zadania opiera się na twierdzeniu Resala. Mówi ono, że jeżeli do ciała obracającego się wokół pewnej osi przyłożymy moment siły (wektor momentu jest prostopadły do tej osi) to oś wirowania zacznie dążyć do pokrycia się z dodatnim kierunkiem działania wektora momentu (dążyć z prędkością kątową \(\displaystyle{ \omega_p}\) - zjawisko takie nazywa się precesją). W formie wzorku będzie to zależność wektorowa: \(\displaystyle{ \vec{M}=\vec{\omega_p}\times\vec{H}}\). Jeżeli rozpatrzymy zagadnienie z drugiej strony, to w wyniku obrotu wektora krętu pojawi się moment który będzie działał na to ciało.
Na prostym przykładzie: opiszę o co tak naprawdę chodzi. Mamy masę (o momencie bezwładności \(\displaystyle{ I}\) napędzaną przez silnik (na filmiku nie pokazany), który utrzymuje jej stałą prędkość kątową \(\displaystyle{ \omega}\) wokół osi poziomej. Na tej osi podwieszono kulkę. Kulka ta ma pewien ciężar (grawitacja ściąga ją w dół) który na ramieniu o długości od miejsca zaczepienia linki do środka obracającej się masy wywołuje moment o wartości \(\displaystyle{ M=Q\cdot R = mgR}\). Zgodnie z powyżej przytoczonym wnioskiem z tw. Resala wektor momentu pędu będzie obracał się w kierunku wektora momentu siły. Nigdy jednak go nie osiągnie bo moment sił również się przemieszcza w przestrzeni (dzięki ramkom) - a więc układ ten będzie kręcił się bez końca. Oczywiście pod warunkiem, że będzie pracował silnik.
A tutaj przykład bez napędu polecam moment od 1:40
Z tą wiedzą możemy spróbować rozwiązać zadanie.
Pociąg porusza się ze stałą prędkością \(\displaystyle{ v}\). Zakładając brak poślizgu kół na tym zakręcie stwierdzamy, że prędkość liniowa na obwodzie koła jest równa prędkości podróżnej pociągu. \(\displaystyle{ v=v_{kola} \iff v=\omega\cdot a}\) a stąd prędkość kątowa \(\displaystyle{ \omega = \frac{v}{a}}\).
Policzymy teraz wektor krętu. Z definicji \(\displaystyle{ \vec{H}=I\cdot\vec{\omega}}\). Tak więc ma on ten sam zwrot i kierunek co wektor prędkości kątowej koła. Teraz należy zauważyć, że gdy mamy zakręt to wektor ten będzie się obracał (zawsze będzie skierowany w kierunku środka krzywizny tego zakrętu) z prędkością (precesji) równą \(\displaystyle{ \omega_p=\frac{v}{r}}\). Można tą zależność wyprowadzić w następujący sposób: weźmy wycinek tego zakrętu o długości łuku \(\displaystyle{ ds}\) i kącie rozwarcia \(\displaystyle{ d\varphi}\). Między tymi dwoma wielkościami zachodzi zależność \(\displaystyle{ ds=r\cdot d\varphi}\). Podzielmy ją przez elementarny czas \(\displaystyle{ \frac{ds}{dt}=r\cdot\frac{d\varphi}{dt} \iff v=r\cdot \omega_p}\). Pozostał nam moment który liczymy względem osi prostopadłej do osi kół i przechodzącej w połowie jej długości \(\displaystyle{ M=l\cdot N}\). Wracając do głównego równania \(\displaystyle{ N=\frac{I\cdot v^2}{lar}}\).
