Zagadnienie Hertza - wymuszone przemieszczenie zamiast siły

StudentIB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 579
Rejestracja: 9 lut 2015, o 13:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 47 razy

Zagadnienie Hertza - wymuszone przemieszczenie zamiast siły

Post autor: StudentIB » 11 wrz 2021, o 18:53

Witam,

łatwo można znaleźć wzory Hertza na naprężenia kontaktowe w różnych przypadkach (2 kule, 2 walce itd.) gdy znamy siłę przyłożoną do jednego z ciał. Ale jak uzyskać odpowiedniki tych wzorów dla sytuacji gdy zamiast siły przykładamy pewną wartość przemieszczenia (przesuwamy jedno ciało o daną odległość ku drugiemu) ? Normalnie pomyślałbym, że nie da się tego zrobić, ale znalazłem ten wzór (podobno bezpośrednio z pracy Hertza) dla 2 kul wykonanych z tego samego materiału i mających ten sam promień:

\(\displaystyle{ \sigma_{C}=- \frac{E}{\pi (1- \nu^{2})} \sqrt{\frac{2h}{R}}}\)

gdzie: \(\displaystyle{ E}\) - moduł Younga, \(\displaystyle{ \nu}\) - współczynnik Poissona, \(\displaystyle{ h}\) - wymuszone przemieszczenie (jedna kula pchana ku drugiej), \(\displaystyle{ R}\) - promień.

Dla porównania, tak wygląda wzór dla tego samego przypadku, ale z przyłożoną siłą \(\displaystyle{ F}\):

\(\displaystyle{ \sigma_{C}=0.578304 \sqrt[3]{\frac{E^{2}F}{R^{2} (1- \nu^{2})^{2}}}}\)

Interesują mnie pozostałe przypadki, szczególnie kula na płaskiej powierzchni. Wzór z siłą wygląda wtedy tak:

\(\displaystyle{ \sigma_{C}=0.364309 \sqrt[3]{\frac{E^{2}F}{R^{2} (1- \nu^{2})^{2}}}}\)

Czy da się uzyskać jego odpowiednik dla wymuszonego przemieszczenia ?

Miałem pomysł żeby po prostu policzyć naprężenia z tego pierwszego wzoru dla 2 kul ze znanym przemieszczeniem a następnie przemnożyć je przez to ile razy naprężenia są mniejsze w przypadku kuli w styku z płaską powierzchnią wg wzoru drugiego i trzeciego. W ten sposób teoretycznie mógłbym otrzymać wynik dla kuli w styku z płaską powierzchnią i wymuszonego przemieszczenia, ale niestety wg analizy MES wynik się nie zgadza, więc to podejście jest raczej nieprawidłowe.

Z góry dziękuję za pomoc.

Dodano po 2 dniach 5 minutach 14 sekundach:
Wygląda na to, że znalazłem rozwiązanie. Nie mam całkowitej pewności, że jest ono poprawne, ale wyniki wyglądają dobrze w porównaniu z MES.

W książce "Roark's Formulas for Stress and Strain" są równania nie tylko na maksymalne naprężenia, ale też na przemieszczenia pod wpływem danej siły w różnych przypadkach kontaktu Hertza. Pomyślałem więc, że może wystarczyłoby po prostu przekształcić ten wzór na przemieszczenie w taki sposób, aby dawał siłę pod wpływem przyłożonego przemieszczenia. Następnie wystarczy podstawić to równanie jako siłę do wzoru na naprężenie. Nie byłem pewien, czy moje rozumowanie ma sens, więc przetestowałem je najpierw na przypadku z 2 kulami. Wynik ze wzoru otrzymanego w ten sposób jest taki sam jak ten otrzymany przy użyciu pierwszego równania w moim poprzednim poście. Zastosowałem więc tą samą metodę dla przypadku z kulą i płaską płytą. Oto co otrzymałem:

- naprężenia przy zadanej sile:

\(\displaystyle{ \sigma=0.364309 \sqrt[3]{\frac{E^2 F}{R^2 (1- \nu^2)^2}}}\)

- przemieszczenie przy zadanej sile:

\(\displaystyle{ y=1.31032 \sqrt[3]{\frac{F^2 (1- \nu^2)^2}{E^2 R}}}\)

- przekształcenie powyższego wzoru aby uzyskać równanie na siłę w zależności od przemieszczenia:

\(\displaystyle{ F \approx \frac{0.666705 \cdot E \cdot \sqrt{R} \cdot y^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{v^4 - 2v^2 + 1}}}\)

- i w końcu:

\(\displaystyle{ \sigma=0.318259 \cdot \sqrt[3]{\frac{E^3 \cdot \sqrt{(v^2 - 1)^2} \cdot y^{\frac{3}{2}}}{R^{\frac{3}{2}} \cdot (v^2 -1)^4}}}\)

Może to równanie dałoby się jeszcze uprościć, ale najważniejsze, że daje sensowne wyniki.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6877
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 1108 razy

Re: Zagadnienie Hertza - wymuszone przemieszczenie zamiast siły

Post autor: kruszewski » 13 wrz 2021, o 22:19

Myślę, że po za stabelaryzowanymi wynikami kilku przypadków podawanych w literaturze przedmiotu nic więcej nie uda się spotkać.
Teoretyczne wywody można prześledzić np w : M.T. Huber, Teoria sprężystości Część I. Rozdział VIII. Rozchodzenie się siły z miejsca obciążonego.
Rozwiązanie zagadnienia Hertza nie wydaje się być łatwe ale jest pokazany sposób rozwiązania. Na str. 240 i dalszych. Na str. 240 i 241 Autor pisze, że osie elips zetknięcia są proporcjonalne do \(\displaystyle{ \sqrt[3]{P } }\), zaś zbliżenie się obu ciał co Kolegę interesuje, proporcjonalne względem \(\displaystyle{ \sqrt[3]{{P^2}} }\)
( M. T. Huber, Teoria sprężystości, część pierwsza. Wydanie 2 PWN Warszawa 1954. )

StudentIB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 579
Rejestracja: 9 lut 2015, o 13:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 47 razy

Re: Zagadnienie Hertza - wymuszone przemieszczenie zamiast siły

Post autor: StudentIB » 14 wrz 2021, o 00:18

Są jeszcze fragmenty w takich książkach jak:
- "Wytrzymałość materiałów" Jakubowicz, Orłoś
- "Wytrzymałość materiałów" Niezgodzińscy
- "Wytrzymałość materiałów z elementami ujęcia komputerowego" Bąk, Burczyński
- "Mechanika materiałów i konstrukcji tom 2" Bijak-Żochowski
- "Szczegółowe omówienie podstawowych zagadnień teorii sprężystości" Szeptyński
- "Teoria sprężystości" Timoshenko, Goodier (tu chyba najwięcej)

Ale znajdą się nawet pojedyncze podręczniki stricte na ten temat:
- "Wybrane zagadnienia kontaktu ciał odkształcalnych" Pauk
- "Problemy wytrzymałości kontaktowej" Pytko
- "Mechanika oddziaływań kontaktowych ciał sprężystych" Kulczycki
- "Mechanika kontaktu powierzchni" Mróz

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6877
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 49 razy
Pomógł: 1108 razy

Re: Zagadnienie Hertza - wymuszone przemieszczenie zamiast siły

Post autor: kruszewski » 14 wrz 2021, o 00:47

Nie znam tych ostatnich czterech pozycji a "Sprężystość" Timoszenki kiedyś przeglądałem pod innym kątem niż ten o którym piszemy.

ODPOWIEDZ