Jeśli tekst ma być o matematyce, a tym bardziej: jeśli tekst będą czytać uczniowie matematyki, to moim zdaniem należałoby mocno popracować nad precyzją sformułowań. A na oko niejasnych jest - również moim zdaniem - większość pojawiających się w tekście tez i definicji.
Z pierwszego linka:
Układem współrzędnych \(\displaystyle{ \text{OX}_1\text{Y}_1}\) o zmiennym kącie osi \(\displaystyle{ \text{OY}_1}\) względem osi \(\displaystyle{ \text{OX}_1}\) nazywamy taki układ, w którym oś \(\displaystyle{ \text{OY}_1}\) przecina oś \(\displaystyle{ \text{OX}_1}\) pod dowolnym kątem \(\displaystyle{ \alpha}\) zawartym między dodatnią półosią \(\displaystyle{ \text{OY}_1}\) a dodatnią półosią \(\displaystyle{ \text{OX}_1}\).
W matematyce układ współrzędnych to sposób przypisywania punktom na płaszczyźnie (lub na prostej, w przestrzeni itd.) liczb rzeczywistych, nazywanych współrzędnymi tego punktu. Na przykład: w zwyczajnym, kartezjańskim układzie współrzędnych mamy dwie prostopadłe osie, nazywane osią rzędnych (
\(\displaystyle{ \text{OY}}\)) i osią odciętych (
\(\displaystyle{ \text{OX}}\)), a punkty każdej z tych osi opisane są liczbami rzeczywistymi. Jeśli teraz
\(\displaystyle{ p}\) jest dowolnym punktem na płaszczyźnie, to jego współrzędną
\(\displaystyle{ x}\) odczytuje się w rzucie prostopadłym tego punktu na oś
\(\displaystyle{ \text{OX}}\), a współrzędną
\(\displaystyle{ y}\) w rzucie prostopadłym na oś
\(\displaystyle{ \text{OY}}\).
Ty zaś wprowadzając swój autorski układ współrzędnych opisujesz tylko położenie osi, ale nie określasz nigdzie sposobu przypisywania punktom na płaszczyźnie liczb rzeczywistych. Na dobrą sprawę nie wiadomo więc, co w układzie zmiennokątowym oznacza zwrot "współrzędne punktu".
Co więcej, dalsza lektura - a szczególnie wzory
\(\displaystyle{ x_1 = x, y_1 \sin \alpha = y}\) - każą przypuszczać, że owo (niezdefiniowane nigdzie) przypisanie punktom ich współrzędnych jest w istocie takie samo, jak w zwykłym układzie kartezjańskim, tyle że z gęstszą podziałką na osi
\(\displaystyle{ \text{OY}}\). W związku z tym ukośny przebieg osi zdaje się nie tylko nieistotny dla sposobu obliczania współrzędnych - czyli czegoś co ten układ już w pełni charakteryzuje - ale wręcz niepotrzebny i mylący. Jeśli jednak źle interpretuję podane wyżej wzory, a ukośność osi jednak jest potrzebna, to proszę o sprostowanie.
Jeszcze o opisie towarzyszącym wspomnianym wzorom:
\(\displaystyle{ x_1 = x \qquad y_1 \sin \alpha = y}\)
\(\displaystyle{ x, y}\) - dowolne liczby
\(\displaystyle{ x_1, y_1}\) - wartości liczbowe w układzie \(\displaystyle{ \text{OX}_1\text{Y}_1}\) liczb \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\)
Nie ma czegoś takiego jak "wartości liczbowe w układzie
\(\displaystyle{ \text{OX}_1\text{Y}_1}\) liczb
\(\displaystyle{ x}\) i
\(\displaystyle{ y}\)". Wartość liczby zawsze jest tożsama z tą liczbą i nie zależy od żadnego układu współrzędnych. Zgaduję, że chciałeś opisać zależność między zwyczajnymi współrzędnymi dowolnego punktu a jego współrzędnymi w nowym układzie. W takim razie proponowałbym raczej opis podobny do poniższego:
Związek między współrzędnymi dowolnego punktu w kartezjańskim układzie współrzędnych i jego współrzędnymi w układzie zmiennokątowym wyraża się wzorami
\(\displaystyle{ x_1 = x \qquad y_1 \sin \alpha = y}\)
\(\displaystyle{ x, y}\) - współrzędne punktu w układzie kartezjańskim
\(\displaystyle{ x_1, y_1}\) - współrzędne punktu w układzie zmiennokątowym
Dalej:
Dowolny punkt \(\displaystyle{ A(x, y)}\) opisany równaniem \(\displaystyle{ y=ax}\) w tym układzie będzie opisany równaniem \(\displaystyle{ y_1 \sin \alpha = ax_1}\)
To nie ma sensu - równanie*
\(\displaystyle{ y=ax}\) nie opisuje punktu, tylko prostą. Punkt zaś opisany jest parą jego współrzędnych
\(\displaystyle{ (x, y)}\) (plus informacja w którym układzie te współrzędne).
*interpretowane zwyczajowo tak, że
\(\displaystyle{ x, y}\) są zmienne, a
\(\displaystyle{ a}\) jest parametrem.
Przeniesienie punktu \(\displaystyle{ A_1(x_1, y_1)}\) z układu [...]
\(\displaystyle{ y_1 \sin \alpha_1 = ax_1}\)
Wyliczenie jest niejasne - czym jest
\(\displaystyle{ a}\)? Znów: dowolny punkt opisany jest przez swoje współrzędne
\(\displaystyle{ (x, y)}\) w którymkolwiek układzie, a nie przez równanie
\(\displaystyle{ y=ax}\), więc nie może tu być żadnej liczby
\(\displaystyle{ a}\) dopóki nie zostanie jakoś zdefiniowana.
Mając dwie dowolne liczby \(\displaystyle{ x = 2, y = 3}\) przenieś do układu współrzędnych...
Skoro podane są wartości tych liczb, to nie są dowolne, tylko konkretne. Poza tym - nie ma sensu przenoszenie
liczb do nowego układu współrzędnych, bo układ to sposób opisywania punktów, a nie liczb. Sens ma zatem przenoszenie
punktu o podanych współrzędnych kartezjańskich do nowego układu.
Narysuj prostą będącą rozwiązaniem funkcji liniowej ogólnej \(\displaystyle{ y=2x+1}\) w układzie...
Niezręczne sformułowanie - co to znaczy "rozwiązanie funkcji liniowej" i czym w ogóle jest "funkcja liniowa ogólna"? W drugiej kwestii jeśli chodzi o to, że prosta jest określona równaniem w postaci ogólnej, to jest to błąd, bo akurat jest to równanie w postaci kierunkowej, a nie ogólnej. W pierwszej kwestii zaś: znów po lekturze rozwiązania mogę się tylko domyślać, że chodziło nie o rozwiązywanie czegokolwiek, tylko o wyprowadzenie w nowych współrzędnych wzoru prostej, która w starych współrzędnych jest opisana równaniem
\(\displaystyle{ y=2x+1}\). Zresztą zgodnie z poleceniem trzeba tę prostą tylko narysować, zatem nie trzeba nic wcale obliczać, bo prosta jest taka sama bez względu na to, w jakich współrzędnych wyrażony jest jej wzór.
Wreszcie: w tekście zdajesz się nie odróżniać funkcji liniowej - która jest przyporządkowaniem między liczbami rzeczywistymi - od prostej - która jest podzbiorem płaszczyzny. Prosta jest wykresem funkcji liniowej, ale nie jest funkcją liniową (choć w matematyce akademickiej czasami się je utożsamia). Funkcja liniowa nie zależy od żadnego układu współrzędnych, bo sama w sobie nie ma nic wspólnego z płaszczyzną. Z kolei prosta jako podzbiór płaszczyzny jest opisana równaniem, które z natury musi być wyrażone w jakimś układzie współrzędnych, i to równanie oczywiście od układu zależy. Wszelkie zatem polecenia dotyczące obliczania nowych współrzędnych powinny dotyczyć nie funkcji liniowej, tylko pewnej prostej. Tą prostą może ewentualnie być wykres jakiejś funkcji liniowej, choć najpewniej owa funkcja będzie i tak nieistotna dla zadania, dlatego najsensowniej w poleceniu nic o funkcji nie wspominać.
W tym miejscu przestałem czytać, więc niewykluczone że dalej jest wszystko dobrze - niemniej do tego momentu niestety wygląda na to, że prawie wszystko jest do poprawy.
Powyżej oceniałem kwestię przedstawienia materiału. Z kolei w sprawie wartości merytorycznej pozwól, że zapytam ostrożnie: czy jest w Twojej pracy jakikolwiek problem, którego nie rozwiązuje natychmiast podstawienie
\(\displaystyle{ y := y_1 \sin \alpha}\)?