Przez pierścień bez jedynki będę rozumiał pierścień, który nie jest koniecznie przemienny i nie ma elementu neutralnego mnożenia. Oczywiście w takim przypadku nadal możemy mówić o ideałach. Ideał takiego pierścienia to podzbiór który jest zamknięty ze względu na dodawanie oraz mnożenie z lewej i prawej przez dowolne elementy pierścienia.
Oto rodzi się pytanie:
- Problemat (Monod, Ozawa, Thom). Czy istnieje pierścień bez jedynki, który jako ideał jest skończenie generowany, ale nie jest generowany przez jeden element?
- \(\displaystyle{ x=a_1x_1b_1 + \ldots, a_nx_nb_n}\)
Mam przykład ideału w algebrze Banacha, który jako ideał lewostronny jest generowany przez 2 elementy ale nie przez 1, ale niestety nie jest kontprzykładem do powyższego problemu.