Generowanie pierścieni bez jedynki

Projekty i prace naukowe i badawcze. Nowatorskie idee matematyczne. Literatura specjalistyczna.
Awatar użytkownika
Spektralny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3976
Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 929 razy

Generowanie pierścieni bez jedynki

Post autor: Spektralny »

Pozwolę sobie tutaj przytoczyć problemat, który wydaje mi się ciekawy oraz zrozumiały dla więszkości użytkowników.

Przez pierścień bez jedynki będę rozumiał pierścień, który nie jest koniecznie przemienny i nie ma elementu neutralnego mnożenia. Oczywiście w takim przypadku nadal możemy mówić o ideałach. Ideał takiego pierścienia to podzbiór który jest zamknięty ze względu na dodawanie oraz mnożenie z lewej i prawej przez dowolne elementy pierścienia.

Oto rodzi się pytanie:
  • Problemat (Monod, Ozawa, Thom). Czy istnieje pierścień bez jedynki, który jako ideał jest skończenie generowany, ale nie jest generowany przez jeden element?
Powyższe pytanie pochodzi i jest nadal otwarte. Przypomnę jeszcze definicję skończonego generowania ideału \(\displaystyle{ J}\) pierścienia \(\displaystyle{ R}\). Ideał \(\displaystyle{ I}\) jest skończenie generowany, gdy istnieją takie elementy \(\displaystyle{ x_1, \ldots, x_n\in I}\), że każdy element \(\displaystyle{ x\in I}\) daje się zapisać w postaci
  • \(\displaystyle{ x=a_1x_1b_1 + \ldots, a_nx_nb_n}\)
dla pewnych \(\displaystyle{ a_i, b_i\in R}\) (\(\displaystyle{ i\leqslant n}\)).

Mam przykład ideału w algebrze Banacha, który jako ideał lewostronny jest generowany przez 2 elementy ale nie przez 1, ale niestety nie jest kontprzykładem do powyższego problemu.
hannahannah
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 30 sty 2015, o 09:23
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: ba
Pomógł: 15 razy

Generowanie pierścieni bez jedynki

Post autor: hannahannah »

Pewnie czegoś tu nie rozumiem.

Rozważmy pierścień (przemiennych) wielomianów Laurenta dwóch zmiennych \(\displaystyle{ \mathbb{Z}[x,y,(xy)^{-1}]}\). Pierścień ten podrasujemy elementami, \(\displaystyle{ x^{\infty}}\), \(\displaystyle{ y^{\infty}}\), na które rozszerzamy mnożenie (przemiennie) według: \(\displaystyle{ x^iy^j\cdot x^{\infty}=x^{\infty}y^j, x^{i}y^{j}\cdot y^{\infty}=x^iy^{\infty}}\) dla \(\displaystyle{ i,j\in\mathbb{Z}\cup\{\infty\}}\). W tym pierścieniu rozważmy ideał generowany przez jednomiany stopnia nieskończonego, t.j. postaci \(\displaystyle{ x^\infty y^*}\) lub \(\displaystyle{ x^*y^\infty}\). Ten ideał (jądro odwzorowania posyłającego te specjalne elementy na zero) jest generowany przez dwa elementy, \(\displaystyle{ x^\infty, y^\infty}\) ale nie przez jeden.
Awatar użytkownika
Spektralny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3976
Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 929 razy

Generowanie pierścieni bez jedynki

Post autor: Spektralny »

Rzeczywiście, w pytanie zapomniałem wspomnieć, że chcemy by \(\displaystyle{ R^2=R}\). Wówczas znalezienie przemiennego przykładu nie jest możliwe, co wynika z lematu Nakayamy.

Uwaga: chcemy by każdy element \(\displaystyle{ R}\) był iloczynem dwóch elementów z \(\displaystyle{ R}\).
ODPOWIEDZ