Ciąg wektorów z przestrzeni Hilberta

Projekty i prace naukowe i badawcze. Nowatorskie idee matematyczne. Literatura specjalistyczna.
Awatar użytkownika
fon_nojman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1599
Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 255 razy

Ciąg wektorów z przestrzeni Hilberta

Post autor: fon_nojman »

Niech \(\displaystyle{ \mathcal{H}}\) będzie rzeczywistą, nieskończenie wymiarową, ośrodkową przestrzenią Hilberta. Czy istnieje nieskończony ciąg wektorów \(\displaystyle{ (x_i) \subset \mathcal{H}}\) taki, że \(\displaystyle{ \left\langle x_i, x_j\right\rangle <0, i \neq j}\)?
Awatar użytkownika
Spektralny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3976
Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 929 razy

Ciąg wektorów z przestrzeni Hilberta

Post autor: Spektralny »

Bez straty ogólności możemy przyjąć, że \(\displaystyle{ H=\ell_2}\) (po prostu stosujemy tożsamość Parsevala). Załóżmy, że każdy zbiór \(\displaystyle{ F}\) elementów z \(\displaystyle{ \ell_2}\), które spełniają następujące warunki
  • i. zbiór \(\displaystyle{ \{k\colon x(k)\neq 0\}}\) jest skończony dla każdego \(\displaystyle{ x\in F}\)

    ii. \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty x_k \neq 0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x\in F}\)

    iii. \(\displaystyle{ \langle x, y\rangle <0}\) dla różnych \(\displaystyle{ x,y\in F}\)
jest skończony i weźmy taki zbiór \(\displaystyle{ F=\{x_1, \ldots, x_n\}}\), który jest maksymalny co do spełniania warunków i., ii. oraz iii. Niech
  • \(\displaystyle{ S = \{k\in \mathbb{N}\colon x_j(k)\neq 0\text{ dla pewnego }j\leqslant n\}.}\)
Zbiór \(\displaystyle{ S}\) jest skończony jako suma skończenie wielu zbiorów skończonych. Weźmy zatem \(\displaystyle{ n_0 = \max S +1}\) i rozważmy wektor
  • \(\displaystyle{ \hat{x} = e_{n_0} + \sum_{k\in S}e_k.}\)
Element \(\displaystyle{ \hat{x}}\) spełnia warunki i. oraz ii. oraz nie należy do \(\displaystyle{ F}\). Z maksymalności \(\displaystyle{ F}\) musimy mieć \(\displaystyle{ \langle x, x_i\rangle > 0}\) (bo ciągi \(\displaystyle{ x_i}\) sumują się do niezerowej liczby). Biorąc element \(\displaystyle{ - \hat{x}}\) otrzymujemy zbiór
  • \(\displaystyle{ F\cup \{- \hat{x}\}}\)
który jest większy od \(\displaystyle{ F}\) i spełnia warunki i-iii; sprzeczność z maksymalnością.

Uwaga 1. Jest to wersja rozumowania, które zastosowaliśmy z kolegą w 4 akapicie na stronie 2 w oraz w dowodzie Theorem 4.10 tamże.

Uwaga 2. Mimo że mówimy o maksymalności, nie potrzeba tu pełenej siły lematu Kuratowskiego-Zorna. To rozumowanie łatwo można przerobić na dowód indukcyjny, ale czasami takie rozumowanie jest bardziej transparentne.
Awatar użytkownika
fon_nojman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1599
Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 255 razy

Ciąg wektorów z przestrzeni Hilberta

Post autor: fon_nojman »

Jako ćwiczenie można spróbować podać te wektory bezpośrednio.
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
Spektralny
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3976
Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 929 razy

Ciąg wektorów z przestrzeni Hilberta

Post autor: Spektralny »

Tak. Moje rozumowanie można jednak uogólnić następująco. Twierdzę, że w \(\displaystyle{ \ell_2(\omega_1)}\) istnieje taki nieprzeliczalny układ wektorów, że iloczyn każdej pary jego elementów jest ujemny. Po prostu zastąpmy skończoność \(\displaystyle{ F}\) przez przeliczalność i odpowiednio modyfikujemy wektor \(\displaystyle{ \hat{x}}\).

Pytanie. Niech \(\displaystyle{ \lambda}\) będzie nieprzeliczalną liczbą kardynalną. Czy w \(\displaystyle{ \ell_2(\lambda)}\) istnieje taki układ wektorów mocy \(\displaystyle{ \lambda}\), że \(\displaystyle{ \langle x, y \rangle < 0}\) dla różnych \(\displaystyle{ x,y}\) z tego układu? Gdy \(\displaystyle{ \lambda>\mathfrak{c}}\) odpowiedź jest negatywna.
  • Postępujemy jak w dowodzie . Bez straty ogólności możemy wziąć \(\displaystyle{ \lambda=\mathfrak{c}^+}\), następną liczbę kardynalną po \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\). Załóżmy, że \(\displaystyle{ F\subset \ell_2(\lambda)}\) jest układem wektorów mocy \(\displaystyle{ \lambda}\), które spełniają warunek \(\displaystyle{ \langle x, y \rangle < 0}\). Z uogólnionej wersji (Theorem 1.6 w K. Kunen, Set theory, an introduction to independence proofs, North Holland, Amsterdam, 1980.) wynika, że istnieje taki podzbiór \(\displaystyle{ F_0\subseteq F}\) mocy \(\displaystyle{ \lambda}\) oraz taki zbiór przeliczalny \(\displaystyle{ \Delta \subset \lambda}\), że
    • \(\displaystyle{ {\rm supp}\, x \cap {\rm supp}\, y = \Delta}\)
    dla różnych \(\displaystyle{ x,y\in F_0}\). Zauważmy, że
    • \(\displaystyle{ \langle x, y \rangle = \sum_{\gamma\in \Delta}x(\gamma)y(\gamma).}\)
    [url=http://www.matematyka.pl/168546.htm]Istnieje jednak tylko continuum-wiele funkcji rzeczywistych na zbiorze \(\displaystyle{ \Delta}\)[/url], a więc musi istnieć taka para różnych elementów \(\displaystyle{ x,y\in F_0}\), że \(\displaystyle{ x(\gamma) = y(\gamma)}\) dla wszelkich \(\displaystyle{ \gamma\in \Delta}\). Wtedy jednak \(\displaystyle{ \langle x, y \rangle >0}\); sprzeczność.
Gdy \(\displaystyle{ \lambda = \aleph_0}\) to każdy taki zbiór jest przeliczalny.
  • Istotnie, załóżmy, że \(\displaystyle{ F}\) jest zbiorem wektorów, których iloczyny skalarne są ujemne. Bez straty ogólności możemy przyjąć, że wszystkie elementy w \(\displaystyle{ F}\) mają normę 1. Dla różnych \(\displaystyle{ x,y\in F}\) mamy
    • \(\displaystyle{ \|x-y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 - 2 \langle y, x\rangle > 1+1=2.}\)
    Oznacza to, że zbiór \(\displaystyle{ F}\) jest dyskretny. Gdy przestrzeń Hilberta jest ośrodkowa, musi być on przeliczalny.
Co gdy \(\displaystyle{ \lambda\leqslant \mathfrak{c}}\) jest nieprzeliczalna?
ODPOWIEDZ