Ciąg wektorów z przestrzeni Hilberta
- fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
Ciąg wektorów z przestrzeni Hilberta
Niech \(\displaystyle{ \mathcal{H}}\) będzie rzeczywistą, nieskończenie wymiarową, ośrodkową przestrzenią Hilberta. Czy istnieje nieskończony ciąg wektorów \(\displaystyle{ (x_i) \subset \mathcal{H}}\) taki, że \(\displaystyle{ \left\langle x_i, x_j\right\rangle <0, i \neq j}\)?
- Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
Ciąg wektorów z przestrzeni Hilberta
Bez straty ogólności możemy przyjąć, że \(\displaystyle{ H=\ell_2}\) (po prostu stosujemy tożsamość Parsevala). Załóżmy, że każdy zbiór \(\displaystyle{ F}\) elementów z \(\displaystyle{ \ell_2}\), które spełniają następujące warunki
Uwaga 1. Jest to wersja rozumowania, które zastosowaliśmy z kolegą w 4 akapicie na stronie 2 w oraz w dowodzie Theorem 4.10 tamże.
Uwaga 2. Mimo że mówimy o maksymalności, nie potrzeba tu pełenej siły lematu Kuratowskiego-Zorna. To rozumowanie łatwo można przerobić na dowód indukcyjny, ale czasami takie rozumowanie jest bardziej transparentne.
- i. zbiór \(\displaystyle{ \{k\colon x(k)\neq 0\}}\) jest skończony dla każdego \(\displaystyle{ x\in F}\)
ii. \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^\infty x_k \neq 0}\) dla każdego \(\displaystyle{ x\in F}\)
iii. \(\displaystyle{ \langle x, y\rangle <0}\) dla różnych \(\displaystyle{ x,y\in F}\)
- \(\displaystyle{ S = \{k\in \mathbb{N}\colon x_j(k)\neq 0\text{ dla pewnego }j\leqslant n\}.}\)
- \(\displaystyle{ \hat{x} = e_{n_0} + \sum_{k\in S}e_k.}\)
- \(\displaystyle{ F\cup \{- \hat{x}\}}\)
Uwaga 1. Jest to wersja rozumowania, które zastosowaliśmy z kolegą w 4 akapicie na stronie 2 w oraz w dowodzie Theorem 4.10 tamże.
Uwaga 2. Mimo że mówimy o maksymalności, nie potrzeba tu pełenej siły lematu Kuratowskiego-Zorna. To rozumowanie łatwo można przerobić na dowód indukcyjny, ale czasami takie rozumowanie jest bardziej transparentne.
- fon_nojman
- Użytkownik
- Posty: 1599
- Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 68 razy
- Pomógł: 255 razy
Ciąg wektorów z przestrzeni Hilberta
Jako ćwiczenie można spróbować podać te wektory bezpośrednio.
Ukryta treść:
- Spektralny
- Użytkownik
- Posty: 3976
- Rejestracja: 17 cze 2011, o 21:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Praga, Katowice, Kraków
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 929 razy
Ciąg wektorów z przestrzeni Hilberta
Tak. Moje rozumowanie można jednak uogólnić następująco. Twierdzę, że w \(\displaystyle{ \ell_2(\omega_1)}\) istnieje taki nieprzeliczalny układ wektorów, że iloczyn każdej pary jego elementów jest ujemny. Po prostu zastąpmy skończoność \(\displaystyle{ F}\) przez przeliczalność i odpowiednio modyfikujemy wektor \(\displaystyle{ \hat{x}}\).
Pytanie. Niech \(\displaystyle{ \lambda}\) będzie nieprzeliczalną liczbą kardynalną. Czy w \(\displaystyle{ \ell_2(\lambda)}\) istnieje taki układ wektorów mocy \(\displaystyle{ \lambda}\), że \(\displaystyle{ \langle x, y \rangle < 0}\) dla różnych \(\displaystyle{ x,y}\) z tego układu? Gdy \(\displaystyle{ \lambda>\mathfrak{c}}\) odpowiedź jest negatywna.
Pytanie. Niech \(\displaystyle{ \lambda}\) będzie nieprzeliczalną liczbą kardynalną. Czy w \(\displaystyle{ \ell_2(\lambda)}\) istnieje taki układ wektorów mocy \(\displaystyle{ \lambda}\), że \(\displaystyle{ \langle x, y \rangle < 0}\) dla różnych \(\displaystyle{ x,y}\) z tego układu? Gdy \(\displaystyle{ \lambda>\mathfrak{c}}\) odpowiedź jest negatywna.
- Postępujemy jak w dowodzie . Bez straty ogólności możemy wziąć \(\displaystyle{ \lambda=\mathfrak{c}^+}\), następną liczbę kardynalną po \(\displaystyle{ \mathfrak{c}}\). Załóżmy, że \(\displaystyle{ F\subset \ell_2(\lambda)}\) jest układem wektorów mocy \(\displaystyle{ \lambda}\), które spełniają warunek \(\displaystyle{ \langle x, y \rangle < 0}\). Z uogólnionej wersji (Theorem 1.6 w K. Kunen, Set theory, an introduction to independence proofs, North Holland, Amsterdam, 1980.) wynika, że istnieje taki podzbiór \(\displaystyle{ F_0\subseteq F}\) mocy \(\displaystyle{ \lambda}\) oraz taki zbiór przeliczalny \(\displaystyle{ \Delta \subset \lambda}\), że
- \(\displaystyle{ {\rm supp}\, x \cap {\rm supp}\, y = \Delta}\)
- \(\displaystyle{ \langle x, y \rangle = \sum_{\gamma\in \Delta}x(\gamma)y(\gamma).}\)
- Istotnie, załóżmy, że \(\displaystyle{ F}\) jest zbiorem wektorów, których iloczyny skalarne są ujemne. Bez straty ogólności możemy przyjąć, że wszystkie elementy w \(\displaystyle{ F}\) mają normę 1. Dla różnych \(\displaystyle{ x,y\in F}\) mamy
- \(\displaystyle{ \|x-y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 - 2 \langle y, x\rangle > 1+1=2.}\)